{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.3.2基本不等式与最大（小）值Word版含解析(经典).docxVIP

3.2　基本不等式与最大(小)值 明目标、知重点　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值为2.2．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．[情境导学]前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用．探究点一　利用基本不等式求最值思考1　已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答　xy有最大值．由基本不等式，得s＝x＋y≥2，所以xy≤，当x＝y时，积xy取得最大值.思考2　已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？答　x＋y有最小值．由基本不等式，得x＋y≥2＝2.当x＝y时，x＋y取得最小值2.思考3　两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？答　不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．基本不等式中说，“当且仅当a＝b时取等号”是说a＝b时“≥”中的“等号”成立，但有时“a”和“b”不一定能相等．如sin x与，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0sin x≤1，知sin x≠2，所以sin x＋2 ＝4等号不成立，取不到最小值．例1　设x，y为正实数，且2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值．解　因为x0，y0，所以由基本不等式，得≥＝.由于2x＋5y＝20，所以≤10，即xy≤10.当且仅当2x＝5y时，等号成立，因此有解得x＝5，y＝2.当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.所以，当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1　(1)若x0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(2)设0x，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x2，求x＋的最小值；(4)已知x0，y0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值．解　(1)当x0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x0)在x＝2时取得最小值4.(2)∵0x，∴3－2x0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈.∴函数y＝4x(3－2x)(0x)的最大值为.(3)∵x2，∴x－20，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.(4)方法一　∵x0，y0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．可知x1，y9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.探究点二　利用基本不等式证明不等式例2　已知y＝x＋(x≠0)，证明：|y|≥2.证明　(1)当x0时，由基本不等式，得y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．(2)当x0时，－x0，y＝x＋＝－[(－x)＋]．由(1)可知(－x)＋≥2，当且仅当x＝－1时等号成立．所以－[(－x)＋]≤－2，即y＝x＋≤－2.综上可知，|y|≥2.反思与感悟　利用基本不等式求最值或证明不等式时，经常要对代数式进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．跟踪训练2　已知xy0，xy＝1，求证：≥2.证明　∵xy＝1，∴＝＝＝(x－y)＋≥2 ＝2.当且仅当，即时取等号．探究点三　基本不等式在实际问题中的应用例3　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使