{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：第一章习题课数列求和Word版含解析(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法． 1．基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.2．数列{an}的an与Sn的关系数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝3．裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；(2)＝(－)；(3)＝－.题型一　分组分解求和例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2.分析　2的结构特征，2＝x2n＋＋2.从而组成三个数列分别求和．解　当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝反思与感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1　求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．解　当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当a≠1时，an＝＝(1－an)．∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝＝－.∴Sn＝题型二　裂项相消求和例2　求和：＋＋＋…＋，n≥2.分析　认真观察，式中每一项均可拆成两项之差，于是可用裂项相消法求和．解　∵＝＝，∴原式＝＝＝－(n≥2)．反思与感悟　如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和．跟踪训练2　求和：1＋＋＋…＋.解　∵an＝＝＝2，∴Sn＝2＝.题型三　奇偶并项求和例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．分析　通项中含符号数列(－1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和．解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)nn (n∈N＋)．反思与感悟　如果数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行讨论，这时通常用奇偶并项法求和．跟踪训练3　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解　当n为偶数时，令n＝2k (k∈N＋)，Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n；当n为奇数时，令n＝2k＋1 (k∈N＋)．Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.∴Sn＝1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　)A．1 B.C. D.答案　B解析　∵an＝＝－，∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.2．数列1，2，3，4，…的前n项和为(　)A.(n2＋n＋2)－B.n(n＋1)＋1－C.(n2－n＋2)－D.n(n＋1)＋2(1－)答案　A解析　1＋2＋3＋…＋(n)＝1＋＋2＋＋3＋＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－.3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数n为(　)A．11 B．99 C．120 D．121答案　C解析　∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.4．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.答案　(－2)n－1解析　当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.[呈重点、现规律]求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求解把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法．一、基础过关1．数列，，，…，，…的前n项和为(　)A. B. C. D.答案　B解析　由数列通项公式＝，得前n项和Sn＝(－＋－＋－＋…＋－)＝＝.2．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是(　)A．n(n＋2) B.n(n＋4)C.n(n＋5) D.n(n＋7)答案　C解析　∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.3．