{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.4.2简单线性规划Word版含解析(经典).docxVIP

4．2　简单线性规划 明目标、知重点　1.了解线性规划的意义.2.了解线性规划问题中有关术语的含义.3.会求一些简单的线性规划问题．1．线性规划中的基本概念名　称意　义约束条件关于变量x，y的不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．[情境导学]已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围．如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题．探究点一　线性规划中的基本概念问题　设x，y满足条件求z＝2x＋y的x，y最小值和最大值．思考1　z＝2x＋y中的x，y对应的点(x，y)在怎样的平面区域内？答　如下图所示：即为满足不等式组的解集对应的一个平面区域(如图阴影部分)．思考2　在思考1中的平面区域内，求z＝2x＋y的最小值和最大值问题转化为怎样的问题？答　问题转化为：在上述图形中的阴影部分找二个点(x1，y1)，(x2，y2)，能分别使z＝2x＋y取得最小值和最大值．思考3　若把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，这是斜率为－2，截距为z的直线．当直线y＝－2x在思考1中的图中平移时，所对应的z随之变化，你能观察出平移到何处z有最大值或最小值？答　如下图，当直线y＝－2x平移到顶点A时所对应的z最小；平移到顶点B时所对应的z最大．思考4　经过以上讨论，你能求出z＝2x＋y取得的最小值与最大值吗？答　由方程组得A点坐标为(，1)；由方程组得B点坐标为(，1)．从而得到zmin＝2×＋1＝；zmax＝2×＋1＝.小结　(1)如果两个变量x，y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题．(2)在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．在可行解中，能分别使目标函数取得最小值和最大值的(x1，y1)，(x2，y2)称为这个问题的最优解．探究点二　求目标函数的最大值或最小值例1　设x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值；(2)求目标函数z＝－4x＋3y－24的最小值与最大值．解　(1)作出可行域如图阴影部分．令z＝0，作直线l：2x＋3y＝0.仿前，当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y取得最小值．从图中可以看出，顶点B是直线x＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；当把l向上平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z＝2x＋5y取得最大值．顶点D是直线－4x＋3y＝12与直线4x＋3y＝36的交点，解方程组可以求得顶点D的坐标为(3,8)．此时，顶点B(－3，－4)与顶点B(3,8)为最优解．所以zmin＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，zmax＝2×3＋3×8＝30.(2)可行域如图所示阴影部分．作直线l0：－4x＋3y＝0，仿前，把直线l0向下平移时，所对应的z′＝－4x＋3y的函数值随之减小，即z＝－4x＋3y－24的函数值随之减小，从图可以看出，直线经过可行域顶点C时，z′＝－4x＋3y取得最小值，即z＝4x＋3y－24取得最小值．顶点C是直线4x＋3y＝36与直线y＝－4的交点，解方程组得到顶点C的坐标(12，－4)，代入目标函数z＝－4x＋3y－24，得zmin＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.由于直线l0平行于直线－4x＋3y＝12，因此当把直线l0向上平移到l1时，l1与可行域的交点不止一个，而是线段AD上的所有点．此时，zmax＝12－24＝－12.反思与感悟　解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对