{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.1.2不等关系与不等式（二）Word版含解析(经典).docxVIP

1．2　不等关系与不等式(二) 明目标、知重点　1.掌握不等式的有关性质.2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等式．常用的不等式的基本性质(1)ab?ba(对称性)；(2)ab，bc?ac(传递性)；(3)ab?a＋cb＋c(可加性)；(4)ab，c0?acbc；ab，c0?acbc；(5)ab，cd?a＋cb＋d；(6)ab0，cd0?acbd；(7)ab0?anbn(n∈N＋)；(8)ab0?(n∈N＋)．[情境导学]在初中我们学习了不等式的三条性质，事实上，不等式还具有其他一些性质，本节我们一起研究．探究点一　不等式的性质思考1　初中已经学习过不等式的一些性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？答　(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若ab?a±cb±c.(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若ab，c0?acbc，＞.(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若ab，c0?acbc，＜.思考2　从实数的基本性质出发，如何证明下列常用的不等式的基本性质？(1)ab，bc?ac；(2)ab?a＋cb＋c；(3)ab，c0?acbc.答　(1)ab，bc?a－b0，b－c0?a－b＋b－c0?a－c0?ac；(2)(a＋c)－(b＋c)＝a－b0?a＋cb＋c；(3)ab，c0?a－b0，c0?(a－b)c＝ac－bc0?acbc.思考3　我们把“如果ab，且bc，则ac”称为不等式的传递性，想一想如何证明？答　ab，bc?a－b0，b－c0?(a－b)＋(b－c)0?a－c0?ac.思考4　如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向”？想一想如何证明表示出的不等式？答　如果ab，cd，则a＋cb＋d.证明如下：因为ab，所以a＋cb＋c，又因为cd，所以b＋cb＋d，根据不等式的传递性得a＋cb＋d.思考5　如果ab0，cd0，如何证明acbd.答　证明如下：?acbd.探究点二　利用不等式的性质证明不等式例1　利用不等式的性质证明下列问题．(1)当x0时，函数y＝x2是增加的；(2)若a10,0q1，则等比数列{an}是递减数列．证明　(1)对于任意的x2x10，由不等式的性质ab0?anbn，得xx.根据函数单调性的概念，y＝x2在(0，＋∞)内是增加的．(2)对于任意的ij0，aj＝a1qj－1，ai＝a1qi－1＝a1q(j－1)＋(i－j)＝a1q(j－1)q(i－j)＝ajq(i－j)，因为0q1，由不等式的性质ab0?anbn，有q212＝1，再由不等式的性质ab0，cd0?acbd，有q3＝(q2)q12＝1，…，q(i－j)1，所以aj·q(i－j)aj·1＝aj，即aiaj，所以{an}是递减数列．反思与感悟　(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．跟踪训练1　(1)已知ab，ef，c0，求证：f－ace－bc；(2)已知ab0，cd0，e0，求证：.证明　(1)因为ab，c0，所以acbc，即－ac－bc.又ef，即fe，所以f－ace－bc.(2)∵cd0，∴－c－d0，∵ab0，∴a－cb－d0，∴0，又∵e0，∴.探究点三　不等式在生活中的应用例2　建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解　设住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求ab，且≥10%.由于－＝0，于是.又≥10%，因此≥10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．反思与感悟　一般地，设a，b为正实数，且ab，m0，则有.在这个结论中特别要注意条件“ab”，当ab时情况恰好相反．跟踪训练2　b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案　解析　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．探究点四　利用不等式的性质判断命题真假例3　判断下列命题的真假．(1)若ab，则acbc；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab0，则a2abb2；(4)，且c0，则ab；(5)若ab0，则；(6)若cab0，则.解　(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据．故该命题是假