{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.2.1一元二次不等式的解法Word版含解析(经典).docxVIP

2．1　一元二次不等式的解法 明目标、知重点　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式的方法.3.培养应用数形结合、分类讨论思想方法的能力．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1x2，则ax2＋bx＋c0(a0)的解集为{x|xx1或xx2}；ax2＋bx＋c0(a0)的解集为{x|x1xx2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是a0且Δ0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是a0且Δ0.(3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y0或y0，就得到不等式ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0.如何解不等式ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一　一元二次不等式的概念问题1　甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1　你能想出一种办法找出哪一辆车违章行驶吗？答　只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．思考2　在思考1中得到的不等式有什么特点？答　(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结　形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二　一元二次不等式的解法问题2　如何解一元二次不等式x2－2x－30?思考1　一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答　二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2　画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观察图像，确定满足不等式x2－2x－30的x的取值范围吗？答　画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观察函数图像可知：当－1x3时，函数图像位于x轴下方，此时，y0，即x2－2x－30，所以满足不等式x2－2x－30的x的取值范围是－1x3.思考3　根据思考2确定满足不等式x2－2x－30的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0(a0)的x的取值范围？答　先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结　(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4　设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，根据以上讨论，请将下表填充完整.Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}??小结　(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0(a0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的二次项系数a0时，可以转化为a0.思考5　一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答　二次函数的图像与x轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x轴上方或下方的部分所对应x的范围是不等式ax2＋bx＋c0