{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：2.2三角形中的几何计算Word版含解析(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.会用正、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培养分析问题、独立解决问题的能力，并激发探索精神．1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.(3)S＝·r·(a＋b＋c)(r为内切圆半径)2．几个重要结论(1)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝；(2)若cos A＝cos B，则A＝B；(3)若a2b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形；(5)若a2b2＋c2且b2a2＋c2且c2a2＋b2，则△ABC为锐角三角形．[情境导学]由于几何体的复杂性，导致了运用的难度，在众多的角度和边长问题中，要采用“归一”思想，即归到一个三角形内计算，需要什么就在其他三角形中求什么．探究点一　求平面几何图形中的边长例1　如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．解　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得＝，sin∠ABC＝＝＝.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，解得BD＝.反思与感悟　在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解决这类问题的关键．跟踪训练1　如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．解　在△ACD中，由余弦定理，得cos C＝＝＝.∵C为三角形的内角，∴C∈(0,180°)，∴sin C＝＝ ＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝.探究点二　实际问题向几何问题的转化例2　一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动．如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？思考1　机器人最快截住足球的地方与足球滚动到达的地方有什么关系？答　机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方．思考2　写出例题的解题过程．解　设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上．设BC＝x dm，由题意，CD＝2x dm.AC＝AD－CD＝(17－2x)(dm)．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－2×4×(17－2x)cos 45°.解得x1＝5 dm，x2＝ dm.所以AC＝17－2x＝7 dm，或AC＝－ dm(不合题意，舍去)．答　该机器人最快可在线段AD上离点A 7 dm的点C处截住足球．反思与感悟　解决生活实际问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正、余弦定理加以解决．跟踪训练2　如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C、D，在某天10∶00观察到该轮船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该轮船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解　在△BCD中，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°.∴∠BDC＝90°.∴△CDB为等腰直角三角形，∴BD＝CD＝1，在△ACD中，由正弦定理得：＝.∴AD＝.在△ABD中，由余弦定理得，AB2＝12＋2－2××cos 60°＝，∴AB＝，则船速为千米/分钟．例3　如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．解　(1)在△OPC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)＝2sin＋.(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋.反思与感悟　利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪训练3　如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝且AD＝BD，求△A