{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：2.1.2余弦定理（二）Word版含解析(经典).docxVIP

1.2　余弦定理(二) 明目标、知重点　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.(2)cos A＝；cos B＝；cos C＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2a2＋b2?C为钝角；c2a2＋b2?C为锐角．2．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(3)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.探究点一　解已知两边及一边对角的三角形思考1　已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形的一般思路是什么？答　先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再由正弦定理求出第三个边．思考2　对于思考1中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形？答　设三角形的第三边为x，通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方程即可得到x的值．例1　已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.反思与感悟　在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解．已知一边和两角用正弦定理解，已知三边用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到．跟踪训练1　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(　)A．1 B．2 C.－1 D.答案　B解析　由余弦定理得cos A＝，∴＝，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．探究点二　证明三角形中的恒等式思考　利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式一般有哪些途径？答　可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．例2　在△ABC中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明　方法一　(1)由正弦定理得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.即a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.方法二　(1)由余弦定理得cos B＝，cos C＝，∴bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.反思与感悟　证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有左?右、右?左或左?中?右三种．跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.证明　方法一　左边＝＝，右边＝＝，∴等式成立．方法二　右边＝＝＝＝＝左边．∴等式成立．探究点三　判断三角形形状例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝＝＝.∴A＝.又sin A＝2sin Bcos C.∴由正、余弦定理得a＝2b·＝，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．反思与感悟　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．跟踪训练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解　方法一　根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴2＝a2＋c2－2accos 60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．方法二　根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°