{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：2.1.2余弦定理（一）Word版含解析(经典).docxVIP

1．2　余弦定理(一) 明目标、知重点　1.掌握余弦定理，会利用向量的数量积证明余弦定理.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.2．余弦定理的推论cos A＝；cos B＝；cos C＝.[情境导学]我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一　利用向量法证明余弦定理问题　如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1　如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？答　在△ABC中，已知AB＝c，AC＝b和角A，求边a和角B，C.思考2　我们可以先研究计算第三边长度的问题，联系已经学过的知识和方法，我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式？答　由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题．思考3　如图，如何用b，c和角A表示出边c?答　a2＝·＝(－)(－)＝2－2·＋2＝b2－2bccos A＋c2.即a2＝b2＋c2－2bccos A.同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B.小结　余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.思考4　我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？答　如下图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.例1　如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h和4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?思考　如何把题目中的已知条件和求3时后两人相距多远的问题，转化成解三角形中的问题？(写出例题的解题过程)答　经过3时，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，问题转化为在△OPQ中，已知OP＝12 km，OQ＝13.5 km，∠POQ＝80°，求PQ的长．解　经过3时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)．依余弦定理，知PQ＝＝≈16.4(km)．答　3时后两人相距约16.4 km.反思与感悟　利用余弦定理解决实际生活中的问题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化，从而转变成解三角形问题．跟踪训练1　江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.答案　30解析　设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝(m)＝30，∠C＝30°，AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos 30°＝900，所以AB＝30(m)．探究点二　余弦定理的变形思考1　余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答　从余弦定理的三个关系式中，分离出角的余弦，又可得到以下推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.思考2　根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答　(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角．例2　如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，，…的图形．试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．思考　根据图中标出的数据，你能求出∠BCD的大小吗？答　由△ABC中标出的数据知，△ABC为等腰直角三角形，所以∠