(精)复变函数与积分变换1.pptVIP

* * 例5 解 (三角式) (指数式) * 课堂练习 * 根据复数的几何意义，我们知道, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.下面给出几个具体实例 * 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为 * * 例7 求下列方程所表示的曲线: 解 * 化简后得 * 课堂练习 * * 例8 指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图 解 * 是角形域, 是一原点为中心， 为半径的圆的外部 * 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 圆环形区域 * 注意 通常在求轨迹或者画图时，可以先利用模与辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。当该方法不适用时，可以将 代入，从而将复条件(关于 的)转化为关于 的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断 课堂练习 第二课结束 * 5、复球面 (1) 南极、北极的定义 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. (2)复球面的定义 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示. * (3) 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. * * 思考题 是否任意复数都有辐角? * 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. * Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia 欧拉资料 * 复变函数与积分变换 王卫卫 哈尔滨工业大学（威海） 使用教材与参考教材 使用教材： 《复变函数与运算微积》 孙振绮等编，机械工业出版社，1996 参考教材： 《复变函数与积分变换》 苏变萍编，高等教育出版社 复变函数论 钟玉泉编 高等教育出版社 第一节 复数 区域和边界 一、复数及其代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的乘幂和方根 四、平面和区域 * 一、复数及其代数运算 对虚数单位的规定: 虚数单位的特性: * 1.复数的定义 * 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 即 ,则 即 ,则 * 共轭复数: 实部相同而虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数. * 2.复数的代数运算 (1). 两复数的和与差: (2). 两复数的积: 例1 解 * (3). 两复数的商: 复数的运算满足 加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律加法对乘法的分配律 * 共轭复数的性质: * 例2 解 * 例3 解 * 例4 解 * 例5 解 * 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小. * 三、小结 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 二 复数的几何表示 1、复平面 2、复数的模 4、复数的三种表示形式及相互转化 3、复数的辐角 5、复球面 * 1. 复平面 * 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 * 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. * 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. * 辐角主值的定义: 大家想一想，辐角主值是否唯一？ 辐角主值怎么求？ 辐角怎么求？ * * 第一次课 * * 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 4.复数的三种表示及其相互转化 * 设复数 ，则复数 的充要条件是 * 例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三