(精)复变函数与积分变换2.2.pptVIP

第二章　复变函数的积分 典型例题 作业 P65 4(4); 6(1) * 可微与连续均与函数的全增量有关，所以它们之间应有联系。 这种联系也意味着可导与可微不会是等价关系了。 §2.1 复变函数积分的概念 §2.2 柯西积分定理与原函数 第二章 复变函数的积分 §2.2 柯西积分定理与原函数 由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的 曲线积分值＝0)的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通性有关。 复函积分与路径无关 被积函数的解析性 解析区域的单连通性 ? ? —Cauchy 积分定理 Cauchy积分定理（定理1）： D C D C (2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。 D D C 定理2 设f (z)在单连通区域D内解析，则对任意 两点z0, z1∈D, 积分∫c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。 C z1 z0 C1 C2 C1 C2 z0 z1 例1 解 根据柯西积分定理, 有 思考题 应用柯西积分定理应注意什么? 思考题答案 (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理不能反过来用. (1). 原函数的概念 (2). 积分计算公式 2 原函数 1. 原函数的概念 定理2：设f (z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C, 积分∫c f(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0, 终点z在D内变动,∫c f (z)dz 在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作 定理3： 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在 D内解析，且 上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。 定义2 若函数T(z)在区域D内的导数等于f (z) ，即 ,称T(z)为f (z)在D内的一个原函数. 设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数， 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 (见第一章P24例7) 2. 积分计算公式 定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作 定理4 设f (z)在单连通区域D内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强 思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 思考题答案 两者的提法和结果是类似的. 两者对函数的要求差异很大. 例1 计算下列积分： 解1) 解2) 例3 计算下列积分： 小结 求积分的方法 定理5（复合闭路定理）： 3 柯西定理的推广----复合闭路定理 证明 D c1 c2 L1 L2 L3 A A’ E E’ F F’ G H 此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. D C C1 C1 C1 —闭路变形原理 根据复合闭路定理即定理5可知, 解 C1 C2 1 x y o 例 * 可微与连续均与函数的全增量有关，所以它们之间应有联系。 这种联系也意味着可导与可微不会是等价关系了。 * *