(精)复变函数与积分变换2.pptVIP

山东大学数学院 结 束 例3、求满足下列条件的复数z： （1） （3） （2） 且 例4 求方程 的根。并将 分解因式。 解 ∵ ， 则 的其余三个根即为所求 得 由 §1.2 复平面上的曲线和区域 一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程 两种形式。 由 代入 知 曲线C的方程可改写成复数形式 若令 ，而 ，则 曲线C的参数方程等价于复数形式 。 二、简单曲线与光滑曲线 三、区域 1、去心邻域 3、区域及分类 2、内点与开集 区域——连通的开集。 属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。 注：①闭区域 ，它不是区域。 ②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材 例1.2.1?，例1.2.2） §1.3 复变函数 一、复变函数的概念 1、定义 ——对于集合G中给定的 ，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称G为定义集合，而 称为函数值集合(值域). 分类—— 2、复变函数 与实函数的关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3、复变函数的单值性讨论 教材P12 （例1.3.2) 是否为单值函数 令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。 故 教材 (例1.3.3） 是单值函数吗？ ，均为多值的实二元函数 方法二、 见教材 二、映射 复变函数的几何图形表示 函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集G （定义域）变到 w 平面上的一个点集G*（值域）的一个映射（或映照）。 与 G 中的点为一一对应 映射为双射 典 型 例 题 例1、求z平面上的下列图形在映射 下的象。 解 (1) 乘法的模与辐角定理 u v 4i 图a 虚轴上从点0到4i的一段（见图a ）。 (1)记 ，则 即w平面内 4 图b （3）见教材 例1.3.4（3） 映为 （4） 将直线 建立 所满足的象曲线方程 ，消 ， 是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1) v u 图c 1 2 其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。 将 线 映为 ，消 x 得 例2、 求下列曲线在映射 下的象 解法一（1） 消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程 （2） 代入原象曲线方程，得 w平面内的一条直线。