(精)复变函数与积分变换4.1复数项级数与幂级数.pptVIP

第四章 级数 §1 复数项级数与幂级数 1. 复数列的收敛与发散  设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|e在nN时成立, 则a称为复数列{an}当n??时的极限, 记作 此时也称复数列{an}收敛于a. 定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是 [证] 推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散，则复数列{αn}一定发散。 2 复数项级数 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列, 表达式 称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛, 小结论：若复数项级数α1+ α2+…+αn+…收敛，则其通项αn极限为零。 例2. 当|α|1,判断级数1+α+ α2+…+αn+…是否收敛？ 定理二 级数 收敛=级数 和 都收敛.[证] sn=a1+a2+...+an =(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn) =sn+itn由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在, 即级数 和 都收敛. 定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数收敛问题. 定理三 [证] [解] 1) 2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n??时, an??. 所以an发散. 3) 因 收敛; 也收敛,故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数不是绝对收敛. 三、 幂级数 设{fn(z)}(n=1,2,...)为区域D上的(复变)函数序列,表达式 称为(复变)函数项级数. 最前面n项的和 Sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z) 称为这级数的部分和. 存在, 则称复变函数项级数(4.1.2)在z0收敛, 而f(z0)称为它的和. 如果函数项级数(4.1.2)在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数f(z): f(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+... 如果对于D内的某一点z0, 极限 这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z , 则(4.1.3)成为 , 这是 (4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论 当fn(z)=cn(z-a)n时, 定理五(阿贝尔Abel定理) [证] 幂级数的收敛性只有三种情况： (1) 当0R+∞时，幂级数在|z|R内绝对收敛；在|z|R内发散；但在|z|=R上，幂级数可能收敛也可能发散。 (2) 当R=+∞时，幂级数在复平面上每一点绝对收敛。 (3) 当R=0时，幂级数在复平面上出去原点外处处发散。 例2 求下列幂级数的收敛半径 四. 幂级数的性质 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以像多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即 小结论： 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出其极限. 定理四 [证] 例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 例3 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛? [解] 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散. 2) 因 , 由正项级数的比值收敛法知  收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 称为级数 的和函数. z0 x y O * *