(精)复变函数二.pptVIP

CH1_ 第一节 解析函数的概念 二 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 二 对数函数 三 乘幂 四 三角函数 五 反三角函数与反双曲函数 第二章 解析函数 一 复变函数的导数与微分 1）导数的定义 定义在区域 内， 设函数 定义 为 中的一点。 则说函数 在 处是可导的， 即 个极限值为函数 在 的处导数， 而称这 或 记作 不出 的范围， 点 存在， 如果极限 如果函数 在区域 上每一点都是可导的， 则称 是 上的可导函数。 2）可导与连续的关系 可导一定连续 连续未必可导。 3）求导法则 (1) 其中 为常数。 (2) 其中 为正整数。 (3) (4) (5) (6) (7) 其中 是两 个互为反函数的单值函数，且 例1 其中 为正整数， 解 因此，当 时，公式(2)对 是负整数也是成立的。 求 利用公式(2)、(4) 4）微分的概念 一个函数在一点可导和可微是等价的。 定义 由定义， 在 处及其 的某个邻域 内可导， 如果函数 数在一个区域 上每一点处都是解析的， 如果一个函 在 不解析， 如果函数 在 处解析。 则称函数 上的解析函数。 则称函数为 称 为函数 的奇点。 则 函数在一点解析，必在此点可导， 点可导，未必在此点解析。 但在一 而在一个区域上解析与可导 是等价的。 定理 2）设函数 在 平面的区域 内解析， 函数 在 平面的区域 内解析， 则函数 在区域 内解析。 从而多项式函数在复平面上是解析的， 解析的两个函数 的 和、差、积与商（分母不为零）仍是解析函数。 1）在区域 时， 且当 函数在不含分母为零的区域内是解析的， 有理分式 的点为奇点。 使分母为零 定理一 在点 处可微， 定义在区域 内， 设 在 内的一点 可导的充要条件 是： 则 黎曼方程 并且满足柯西- 且 定理二 在区域 上可微， 在一个 区域 解析的充要条件是： 函数 且满足柯西-黎曼方程。 例1 柯西-黎曼方程不满足， （2） 柯西-黎曼方程满足，因此，此函数在复平面上每一点 研究下列函数的解析性（可导性）。 解 （1） 点都不可导，从而不解析。 因此，此函数在复平面上每一 都可导，从而解析。 （3） 当 时，柯西-黎曼方程不满足， 函数不可导， 且 因此， 柯西-黎曼方程满足，此函数可导， 当 此时 从而此函数在复平面上每一点都不解析。 即 例2 解 由柯西-黎曼方程得： 由于 为解析函 数， 设 确定常数 即 时， 当 例3 证 ，因此 即 利用柯西-黎曼方程 因此，当 时， ，即 解析， 在区域 设函数 为常数， 且 在区域 为常数函数。 证明： 由于 得： 一 指数函数 为任何整数。 因此， 是以 为周期的周期函数。 由于 是多值的， 因此 是一个多值函数。 如果我们规定： 当 取其主值 时， （记为 ） 的主值。 那么 给出的函数 为函数 这是一个单值函数。 它实际上是当 时的 的反函数。 函数 在原点和负实轴上是不 可导的。 当 时， 当对固定的 限制 同实对数函数一样，复对数函数也有基本性质： 例1 求 及其它们的主值。 解 它的主值是 与幂函数 设 为一个不等于零的复数， 为任意的一个复数。 由于 是多值的， 因而在一般情 况下， 也是多值的。 当 为整数时， 所以 是单值的。 当 为非整数的有理数 ( 与 为互质的整数，且 q p )时， 由于 由于 所以 有 个值。 例2 在复数意义下求 的值。 解 除此之外， 都是多值的。 时， 如果我们取 为一个复变量， 或 及 的反函数 幂函数 为一个复平面的单值解析函数。 幂函数 为一个多值函数，它有 个单值分支， 在每个分支上 就得通常的幂函数 定义 分别称 为正弦函数与余弦函数。 由于，函数 是以 为周期的周期函数， 是以 为周期的周期函数。 利用指数函数的求导公式，我们有 因此， 都是复平面上的解析函数。 因此