(精)复变函数积分变换03(吉大).pptVIP

L L [ eatf(t) ] = F( s－a ) L 利用积分性质L L 由像函数的微分性质: F??s? =－L [ t f(t) ] L L ?拉氏变换及其微分性质与积分性质, 还可 以用来计算某些广义积分的值. ?在下列各公式中, F(s)为f(t)的拉氏变换. 若当s取某个实数k时, 下列各式左端的广 义积分均收敛, 则可在上述各式的右端以 s = k代入, 来间接求得各广义积分之值. ?例 计算下列积分 解 (1)由L (P148) (2)由于L ?拉氏变换的卷积定理 ?卷积 按照卷积的定义, 两个函数的卷积是指 如果f1(t)与f2(t)都满足条件: ?当 t 0 时, f1(t) = f2(t) = 0 则卷积的定义可改写成: 即有 ?此式为: 在t 0 时, 函数恒为零的前提下, 卷积的计 算公式. ?本章中如不特别声明, 都假定函数在 t 0 时恒为零. ?例 求函数 f1(t) = t 和 f2(t) = sin t 的卷积. 解 ?卷积定理 设L [ f1(t)]=F1(s), L [ f2(t)]=F2(s), 则有 L [ f1(t)?f2(t)] = F1(s)?F2(s) L [ f1(t)?f2(t)] = F1(s)?F2(s) L ?1[F1(s)?F2(s)] = f1(t)?f2(t) 证明 由定义有 L [ f1(t)?f2(t)] 二重积分交换积分次序, 得 第八章 拉普拉斯变换 ?拉普拉斯(Laplace)变换在工程技术与科学 领域中有着广泛的应用. ?本章从傅氏变换定义出发, 给出拉氏变换 的定义, 并推导出它的一些性质, 然后讨 论拉氏逆变换和像原函数的求法. ?本章主要内容 ?拉普拉斯变换的概念; ?拉氏变换的性质; ?拉普拉斯逆变换. ?拉普拉斯变换 第一节 拉普拉斯变换的概念 ?我们知道, 一个函数除了满足狄氏条件以 外, 还要在(? ?, ? ?)上绝对可积才存在古 典意义下的傅氏变换; ?但绝对可积的条件是比较强的, 即使是很 简单的函数(如单位阶跃函数, 正弦、余弦 函数以及线性函数等)都不满足这个条件; ?其次, 可以进行傅氏变换的函数必须在整 个数轴上有定义. ?但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t ? 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制. ?对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换. ?下面介绍拉普拉斯变换的定义: ?拉普拉斯变换 设函数f(t)是定义在[ 0, ??)上的实值函数, 如果对于复参数 s =? +i? , 积分 在复平面s的某个区域内收敛, 则称F(s)为 f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为 F(s)= L [ f(t)] 相应地, 称f(t)为F(s)的拉氏逆变换, 记为 f(t)= L ?1[F(s)] ?称F(s)与f(t)分别为象函数与象原函数. ?拉氏变换与傅氏变换的关系 由拉氏变换的定义, 我们有(s =? +i? ) L =F ?可见函数f(t)的拉氏变换就是f(t)u(t)e?? t的 傅氏变换. ?对于这样的傅氏变换, 可视为三个数学过程: ?通过单位阶跃函数u(t)与函数f(t)相乘,使 所考虑问题化为半空间[0,+?)上的问题; ?对[0,+?)上f(t)乘上一个衰减的指数函数 e?? t, 使其满足绝对可积的条件; ?对其实施傅氏变换. ?通过上面的分析, 可以说, 拉氏变换是对傅 氏变换的一种改造. ?本章所讨论的取拉氏变换的函数, 如果不 特别说明, 都是指定义在[0,+?)上的函数. ?例 求f(t) = 1 的拉氏变换. 解 由拉氏变换的定义, 有 其中, s =? +i? , 当Re(s) = ? 0 时, 有 ?对于单位阶跃函数u(t), 当t 0时u(t)的函数 值与f(t)=1的函数值是相等的. 因此我们有 L ?例 求指数函数 f(t) = ekt 的拉氏变换.