(精)复变函数与积分变换2.2解析函数.pptVIP

* * §2.2 解析函数 定义1 否则称为奇点 。 f(z)在区域D内解析: f(z)在D内每个点都解析. f(z)在z0解析: f(z)在z0的某个领域内可导. 函数在一点解析 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析； f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。 例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性. 解： 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析； z = 0 是它的一个奇点。 解析函数的性质： (1)??? 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2)??? 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3)??? 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 定理3 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义区域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程: 问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判别其解析（可导）性？ C-R方程等价于 证明: 推论 ： 例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析: 解： 得 u=x, v=-y, 所以 在复平面内处处不可导, 处处不解析； 2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以 当且仅当 x = y = 0时, 因此函数仅在z = 0处可导, 在复平面内任何地方都不解析. 是区域内的正交 曲线族。 (正交：两曲线在交点处的切线垂直 ) 例题3 证： 得证。 例如 两族分别以直线y=?x和坐标轴 为渐近线的等轴双曲线 x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。