(精)复变函数第一讲.pptVIP

* 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 §3 复数的乘幂与方根 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 1. 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1. 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 证明 ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 2.复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 棣模佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 3.复数的方根 （开方）——乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o * * 1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域 §4 区 域 1. 区域的概念 邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ 0为半径的圆 | z -z 0|δ(或 0 | z –z 0|δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。 记为Ｕ(z0 ,δ) 即， 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 　　域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集。 连通是指 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。 D-区域 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； 内点 外点 D的所有边界点组成D的边界。 P 有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|R}，则D是有界区域；否则无界。 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。