(精)复变函数与积分变换2.3.pptVIP

第二章　复变函数的积分 小结与思考 问题的提出 作业 P65 7(5) * §2.1 复变函数积分的概念 §2.2 柯西积分定理与原函数 §2.3 柯西积分公式与高阶导数公式 第二章 复变函数的积分 §2.3 Cauchy积分公式及其推论 1）通过两个二元实变函数的积分来计算； 1.复变函数积分的计算 预备知识 2）化为参变量的定积分来计算； 2.复变函数积分的性质 3.柯西积分定理 4.复合闭路定理——柯西定理在多连域的推广 5.闭路变形原理——复合闭路定理的特例 分析 D C z0 C1 D C C1 猜想积分： z0 定理(Cauchy 积分公式) 证明 D C K z z0 R 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R 积分值都为零时才能任意小。证毕。 (1) 函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的 值表示, 从而得到解析函数的一个积分表达式。 关于公式的说明: (2) 提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。 c. 若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需 先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式。 设 f (z)在多连通域 D内解析，在边界上连续， (3) 柯西积分公式可以推广到多连域。 则 例1 解 例2 解 C C1 C2 1 x y o 一公式-----柯西积分公式 两用途(重点) -----1.计算闭路复积分； 2.解析函数积分表达式。 推广及应用 思考： 今后遇到闭曲线上的复变函数积分, 应先想到什么？ 2 解析函数的高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了. 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 形式上， 以下将对这些公式的正确性加以证明。 定理2 证明 用数学归纳法和导数定义。 令为I 依次类推，用数学归纳法可得 一个解析函数的导数仍为解析函数。 例1 解 例2 解 根据复合闭路定理和高阶导数公式, * * *