(精)复变函数与积分变换4.2泰勒级数.pptVIP

§3 泰勒级数 * 定理(泰勒展开定理) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d 时, 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 把它记作K,它与它的内部全含于D, 又设z为K内任一点. z0 K z r z 按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则 f (z)在z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立. z0 K z r z 唯一性：任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法。如 例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+?. 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: 除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出: [解] 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级数. 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. [解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数. -1 O R=1 x y *