第16讲圆锥曲线与方程.docVIP

课题 圆锥曲线与方程 考点透析 圆锥曲线与方程 （必修） 中心在坐标原点的椭圆标准方程与几何性质 B 中心在坐标原点的双曲线标准方程与几何性质 A 中心在坐标原点的抛物线标准方程与几何性质 A 曲线与方程 A 中心在坐标原点的抛物线标准方程与几何性质 B 知识整合 1．对于与圆锥曲线有关的问题时，要善于应用圆锥曲线的有关定义解题。一般的，若椭圆、双曲线上一点与两个焦点有关，应联想到它们的第一定义，若圆锥曲线上一点与一个焦点或准线有关，应联想到它们的统一定义。 2．求圆锥曲线的方程时，“先定型，后计算”，所谓“定型”是指曲线的类型，焦点所在的坐标轴，然后根据条件应用待定系数法求解。 3．利用圆锥曲线的标准方程及其几何性质解题，一是要熟悉掌握圆锥曲线标准方程的形式，掌握基本量a，b，c，P的几何意义与基本关系；二是根据圆锥曲线的标准方程及其几何性质解决相关问题。 4．求动点轨迹，要熟悉求轨迹的几个基本步骤以及求轨迹的基本方法，比如直接法、定义法、几何法、参数法等。 考点自测 1.（2010 安徽）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 ． 2. (2010 南京一模) 以椭圆 （ab0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。 3.（2010 重庆）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB 的中点到准线的距离为___________. 4.（2010扬州四模）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，是椭圆与抛物线的的交点，若经过焦点，则椭圆的离心率为 . 典型例题 高考热点一：求动点的轨迹方程 例1.(2010江苏)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。 （1）设动点P满足,求点P的轨迹； （2）设，求点T的坐标； （3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 【分析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。 高考热点二：圆锥曲线的定义及其应用 例2.(2010江西) 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点. (1) 求椭圆的离心率； (2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程. 【分析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 高考热点三：圆锥曲线的标准方程及其应用 例3. （2010 南通）已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的 任意一点，椭圆的离心率为．以P为圆心PF2长为半径作圆P， 当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为． （1）求圆P方程和椭圆方程； （2）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与 圆P相切，试求出这个定圆方程． 高考热点四：圆锥曲线的几何性质及其应用 例4．(2010 天津）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。 求椭圆的方程； 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值 【分析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 高考热点五：与圆锥曲线有关的综合性问题 例5. （2010 山东）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【分析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 误区分析 F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离为7，求P到焦点F2的距离． 试分析下面的解答错在哪里？ 解：双曲线的实轴长为6，由||PF1|-|PF2||=6，即|7-|PF2||=6，∴|PF2|=13或|PF2|=1． 随堂练习 1．（2010 湖南）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是____ ． 2．（2010 江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐