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第12讲 空间几何体及其计算 考点透析 空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组成体 A 柱、锥、台、球的表面积和体积 A 知识整合 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实世界中简单物体的结构，了解柱、锥、台、球的概念． 　　2．掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积及体积计算公式，能直观感知空间几何体的展开图的形状，并能初步运用于实际问题之中． 考点自测 1. （2010上海6)已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。 2．（2010辽宁文科11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于 。 3．(2010宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________． 4．（ 2010全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为_____________． 5．(2010宁夏18) 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面 平面; （Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。 典型例题 高考热点一：空间几何体的表面积与体积 简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用． 例1． （2010徐州市模拟改编）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积． 【分析】锥体的体积计算关键是求出底面积与高①如何求解菱形面积；②如何转化条件PB与平面ABCD所成的角为60？ 高考热点二：空间图形的折叠 旋转、折叠就是把平面图形通过翻折变成立体图形，是“整体识别，操作确认”的具体体现，它是高考常考的热点题型．解决这类问题的关健是要正确利用好旋转或折叠前后的两种图形，准确找出其中的变化量和不变量，隐含着一种动手能力或实践能力． 例2．(2010苏州中学模拟题改编)如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 【分析】解决这类问题的关健是要正确利用好折叠前后的两种图形，准确找出其中的变化量和不变量． 高考热点三：类比 平面几何中的一些重要定理、性质、运算公式及特殊点或线的性质，在立体几何中，也有类似的性质成立．由平面到空间的类比推理题，不仅能将初中平面几何知识与高中内容有机结合起来， 而且能较好地考查我们的阅读能力、类比推理能力、逻辑思维能力及实现知识的正迁移能力． 例3．(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 【分析】解决这类问题的关键是首先弄清平面中已知命题的由来，然后用同样的方法去探究空间的结论，一般是由平面的点、线、边长、面积类比空间的线、面、面积、体积． 误区分析 问题：一个球被两个平行平面所截，截面面积分别为和，且两截面的距离为1，求球的体积． 试分析下面的解答错在哪里？ 错解：设两截面圆的半径分别为和，球心O到其中的一个截面的距离为d，则： 由球的性质可知 ① ② 解之得， 所以球的体积为 随堂练习 1．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_________． 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ． 3．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体对角线的长为＿＿． 4．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各顶点，则这三个球的表面积之比为＿＿＿＿． 5．如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，G和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直， (Ⅰ)证明：直线垂直且平分线段AD： (Ⅱ)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面体ABCDEF的体积． 6．(20模拟)在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2． (Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积V； (