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微元法在高中物理题中的运用简说 　　摘 要：无限分割与逼近是研究数学与物理学的一种重要思想方法。我国魏晋时刘徽首创“割圆法”，科学巨匠牛顿将无限分割与逼近的思维方法引入到对物理问题的研究中，并且创立了微分学，极大地推动了物理学和数学的发展。随着高中新课程的推广，这种微元法思想也融入了高中物理教学中。 　　关键词：微元法；无限分割；逼近 　　微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿整个高中物理。比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是解决高层面物理问题时，常常会起到事半功倍的效果。 　　微元法即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元做“低细节”描述）。用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，即对事物做整体客观地观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。所以，微元法解决问题的“两要诀”就是取微元与对微元做“低细节”描述。 　　如何取微元呢？可以对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。 　　一、常见的几种逼近 　　1.“直”向“曲”的逼近 　　例如：质量为m的物体由A沿曲线运动到 　　B时，计算重力做的功。我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicos？兹=mgHi，在无限分 　　割下，即n→∞的条件下，WG=∑Wi=mgH。 　　2.平均值向瞬时值的逼近 　　例如：瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t′长度为Δx，则物体在时间Δt内平均速度为v=■，当Δt→0时，该时间元的平均速度即t时刻的瞬时速度。 　　3.常量向变量的逼近 　　例如：由v-t图推导匀变速直线运动位移时 　　间关系时，任意时间间隔Δt内Vi≠Vi+1，当Δt→0时Vi≠Vi+1，位移元Xi=ViΔt，所以，X=∑Xi=梯形的面积。 　　微元法解决问题的一般思维与操作程序有这么三个过程：首先决定是否是用微元法；然后选择适当的微元；最后对微元做物理及数学处理。 　　二、中学物理中下列情景可考虑用微元法求解 　　1.整体对称问题 　　整体对称属于整体内部的一种对称联系，这时可对整体做均匀细分，取其中任何一微元做“隔离体”加以研究，这样就将整体内部关系转化为微元与其余部分的相互关系，以便应用反应事物相互联系的物理规律求解。 　　例1.如图所示，质量为M的均质圆环半径为R，圆心在O点，另有一大小可以不计、质量为m的物体B放在位于环心O且垂 　　直于环面的光滑导轨上，物体与环心相距为d。则整个圆环与物体之间的万有引力大小为多少？ 　　如图将圆环细分，每一份就是一个质量元，其中任一质量元ΔM当n→∞可以看成质点处理，可以计算出该质量元与m之间的万有引力Fi=■，由环的对称性可知ΔM′与ΔM的万有引力产生的竖直方向的分量相互平衡，故整个圆环与物体之间的万有引力为F=■Fi■■■cosθ。 　　2.暂态问题 　　即问题所述情景属事物变化全景中的某特殊场景。这时，需选取一与该状态逼近的相邻状态，从而获得一元过程，对该微元过程运用相应的物理规律求解。 　　例题2.如图（1），长为L、质量均匀为M的链条套在一表面光 　　滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥上静止时，链条中的张力是多少？ 　　任取链条上一小微元段，其所对圆心角为Δθ=■（n→∞），其质量ΔM=■，分析其受力如图（2）：重力ΔMg，圆锥面支持力FNi及小链元两端所受链条其余部分拉力的合力Fi，由图（3）可知： 　　Fi=2Tsin■，Δθ很小时，sinθ≈θ，Fi=T■，由链元平衡，得：T■=■cot■，T=■cot■。 　　3.变量问题 　　即问题所处物理情景涉及的物理量是变化的，诸如变力、变质量、变位置、变化的场、变化的过程等等。这类问题需要在对整体做无穷细分后，选取某特定微元做研究对象，将对微元的处理结果进一步推广到一般微元，最终得解。 　　例题3.如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一