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高一数学竞赛选拔赛试题 选择题 1.化简得 （ ） A B C D 2．已知集合，则下列正确的是（ ） A． B. C. D. 3．当时，，则下列大小关系正确的是（ ） A． B. C. D. 4.设圆的方程为，直线的方程为 ()，圆被直线截得的弦长等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 与有关 5.函数是 ( ) (A) 周期为的偶函数 　 (B) 周期为的奇函数 (C) 周期为的偶函数 (D) 周期为的奇函数 6.设函数的定义域为，的解集为，的解集 为，则下列结论正确的是（） (A) (B) (C) (D) 7.已知为三条不同的直线，且平面，平面，． (1)　若与是异面直线，则至少与、中的一条相交； (2)　若不垂直于，则与一定不垂直； (3)　若∥，则必有∥； (4)　若，，则必有． 其中正确的命题的个数是 ( ) (A) (B) (C) (D) 8.函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是 ( ) (A) 且 　 (B) 且 (C) 且 　 　 (D) 　　 　　 　 二、填空题 9．已知，则 。 10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为 。 11．已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合= 。 12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个。若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生。 13．代数式的最小值为 。 14．设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值 是 。 15．定义在上的函数满足：，则 16.已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为 . 17.已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是 . 18.关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是 . 三．解答题 20. 圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值． 21.设函数的定义域是，且对任意都有． 若对常数，，判断在上的单调性； 22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件： [1] 对任意的，总有； [2] ； [3] 若，，且，则有成立， 并且称为“友谊函数”，请解答下列各题： (1)若已知为“友谊函数”，求的值； (2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由. (3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：. 参考答案 一、选择题：AACABDCB 3解：当时，，，。 又因为。所以 。 选 C。 填空题 9．0．得 而 10． 11． 12．设甲、已、丙三个组的人数分别为。则有 ，故233= ，同理 ，均为整数，则或 ，检验的方可。 13．数型结合得 14．长方体的展开图的周长为，由排序或观察得： 周长的最小值为。 15. 7 16. 5 17. (-2,2) 18. 三、解答题 19解：（1）∵正四棱锥R—ABCD中Q是△RBC的重心，∴RQ⊥BC 又∵RO⊥底面ABCD，∴RO⊥BC，∵RO∩RQ=R，∴BC⊥平面ROQ ∴平面ROQ⊥平面RBC （2）延长RQ交BC于