高一数学角的概念推广与弧度制北师大版知识精讲.docVIP

高一数学角的概念推广与弧度制北师大版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 角的概念推广与弧度制 二、学习目标 1、了解周期现象与周期性的概念； 2、了解任意角的概念与弧度制，能进行弧度与角度的互化 三、知识要点 1、周期现象——依次不断地重复出现的现象叫做周期现象。 2、周期函数——如果存在不为0的实数T，使得对定义域内的任意x，函数y=f（x）都满足：f（x+T）=f（x），我们就把这种函数称为周期函数，T称为这个函数的周期。 一般地，若T是函数的周期，则kT也是其周期，其中k≠0，k∈Z 3、角的概念推广——正角、负角与零度角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，不作任何旋转的角为零度角，又称零角。 4、终边相同的角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，同一位置的终边可以视作以不同的方式旋转而得到，从而这些角终边相同。与角α终边相同的角β可以表示为： β=α+k·360°，k∈Z 5、象限角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 若α为第I象限角，则：α∈（k·360°，90°+k·360°），k∈Z； 若α为第II象限角，则：α∈（90°+k·360°，180°+k·360°），k∈Z； 若α为第III象限角，则：α∈（180°+k·360°，270°+k·360°），k∈Z； 若α为第IV象限角，则：α∈（－90°+k·360°，k·360°），k∈Z. 6、象限界角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在坐标轴上的时候称为象限界角（不属于象限角）。 若α终边落在x轴的正半轴上，则：α=k·360°，k∈Z； 若α终边落在x轴的负半轴上，则：α=180°+k·360°，k∈Z； 若α终边落在y轴的正半轴上，则：α=90°+k·360°，k∈Z； 若α终边落在y轴的负半轴上，则：α=－90°+k·360°，k∈Z。 7、弧度制——规定：在单位圆中长为1个单位长度的弧所对应的圆心角是1弧度的角，其单位是弧度（rad）。这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 在弧度制下，角的单位常省去不写，这样，就在角度的大小与实数之间建立了一种对应关系。 8、角度与弧度的互化： 360°=2πrad 9、弧度制下的弧长与扇形面积公式 弧长公式： 扇形面积公式： 四、考点解析与典型例题 考点一 周期性与周期现象 例1. 设函数f（x）是以4为周期的函数，当x∈[0，4）时，f（x）=2x+1，比较的大小。 【分析】由于－4和5.5均不在[0，4]内，故需通过周期性找出[0，4]内与其函数值相等的值后再进行比较。 【解】由周期性可知，f（－4）=f（－4+4）=f（0）=1，f（5.5）=f（－4+5.5）=f（1.5）=4，f（3）=7，故f（－4）f（5.5）f（3）。 考点二 角的概念的推广 例2. 从2点15分到3点，时钟的时针和分针各转了多少度？ 【分析】沿顺时针方向旋转形成的角为负角。 【解】从2点15分到3点共45分钟，故时针转过的角度为： 分针转过的角度为： 考点三 终边相同的角 例3. 下列各对角中终边相同的角是（ ） A. （ｋ∈Ｚ） B. －和π C. －和 D. 【分析】判断两个角的终边是否相同，只需判断两角之差是否是2π的整数倍。 【解】C。 考点四 已知α所在区间（或象限），判断半角所在区间（或象限） 例4. 已知α为第II象限角，判断所在象限 【分析】先写出α的范围，再求所在范围；或者按如下步骤判断：将每个象限二等分，从x轴正半轴上方的第一个区域开始，顺次标上1，2，3，4；1，2，3，4。则标记2的区域即为所在区域。若判断所在区域，则需将每个象限N等分，按如上步骤，标记为2的区域即为所在区域。此处标记的2是α所在象限对应的数字。 【解】法一：α为第II象限角，则α∈，故∈，则在第I象限或第III象限。 法二：如图，可知在第I象限或第III象限。 考点五 弧度制下的有关计算 例5. 圆弧的长度等于截其圆的内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数。 【解】 五、数学思想方法 本讲学习中一要正确理解旋转方向与角的正负之间的关系，二要理解弧度制下，角的大小与实数间建立了一一对应的关系，这为研究三角函数奠定了重要基础，三要注意数形结合的方法在研究角与三角函数问题中的重要作