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高一数学竞赛辅导检测题 （时间120分钟） 一、填空题（） 1．已知，则 2．已知函数，则函数的值域是 3．关于的方程在上有解，则的取值范围是 4．中，是外心，为垂心，那么下列式子正确的序号是 ①； ②； ③； ④． 5．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出张． 6．有6本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法． 7．设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是 8．设为奇数，则被9除的余数是 二、解答题（） 9．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花．若，，设的面积为，正方形的面积为；（1）用，表示和；（2）当固定，变化时，求取最小值时的角的大小． 解： 10．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点；（1）求证：平面；（2）求二面角的大小； （3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是． 解： 11．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心； 求证：． 12．设正整数不等于2，5，13，证明在集合中可以找到两个元素，，使得不是完全平方数． 参考答案 一、填空题（） 1．已知，则 答案：． 2．已知函数，则函数的值域是 答案：利用三角换元和奇函数性质，考虑的情形，令，值域是． 3．关于的方程在上有解，则的取值范围是 答案：当，不适合；当，变形为，可得范围是． 4．中，是外心，为垂心，那么下列式子正确的序号是 ①； ②； ③； ④． 答案：欧拉线，正确的只有 ①． 5．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出张． 答案：按多面手参与的情况进行分类： 共有：种． 6．有6本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法． 答案：共有：种． 7．设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是 答案： 8．设为奇数，则被9除的余数是 答案：，故余数是7． 二、解答题（） 9．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花．若，，设的面积为，正方形的面积为；（1）用，表示和；（2）当固定，变化时，求取最小值时的角的大小． 解（1）∵； ∴； 设正方形边长为，则； ∴； ； ∴． （2）当固定，变化时，； 令，则；； 令，任取，且， ； ， 在是减函数．时，取最小值，此时． 10．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点；（1）求证：平面；（2）求二面角的大小； （3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是． 解：（1）记与交于点，连结； ∵、分别是、的中点，是矩形； ∴四边形是平行四边形； ∴，平面，平面； ∴平面． （2）∵，； ∴平面，作于， 连，易得； ∴是二面角的平面角； 在中，，；，； ∴二面角的大小为． （3）设，作于，则； ∵，，；∴⊥平面，∴； 在中，，； ∵为等腰直角三角形，； 又为直角三角形，； ；或（舍）；即点是的中点． 11．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心； 求证：． 证明：如图，连结和，∵，；∴， 又∵，∴；延长交于，连结； ∵，∴四点共圆； ∴，即； 又∵，∴，； 于是，，即，． 12．设正整数不等于2，5，13，证明在集合中可以找到两个元素，，使得 不是完全平方数． 解：由于，，，因此，只须证明中至少有一个不是完全平方数即可． 用反证法：假设它们都是完全平方数， 令 ①， ②， ③，； 由①知：是奇数，设，即，也是奇数； 因此，由②和③知：、均是偶数； 设，，代入②和③，相减，除以4得：； 从而，为偶数，、必同是偶数，这样是4的倍数，即是偶数，这与上述矛盾；故命题得证． 用心 爱心 专心