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高一数学竞赛模拟试题 一、选择题 1.某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　D　） A、 B、 C、 D、 2.已知均为正数,且都不等于1,若实数满足 ,则的值等于 A、1 B、2 C、3 D、4 3.函数的图象是 （ ） 4.设集合,若,则中元素个数为(C) .0 .1 .2 .至少3个 5.若，则的值为（ B ） A、 0 B、—1 C、 1 D、 以上均不对 6.函数y=log2(x2－3x+2)的递增区间为（ B ） A、(－,1) B、(2,+ ) C、(－,) D、( ,+) 7.函数上为增函数,则实数a的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 8.盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于（　C　） Ａ．恰有１只是坏的概率 Ｂ．恰有２只是好的概率 Ｃ．至多２只是坏的概率 Ｄ．４只全是好的概率 9.如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ B ）  A.90° B.45° C.60° D.30° 10.已知的值等于（ B ） A.2或－2 B.－2 C. D.2 11.图输出的是（　D　） Ａ．2005 B．65 Ｃ．64 Ｄ．63 12.方程，有两个不等实根，则实数 的取值范围是：D A． B. C. D. 二、填空题 13.已知无论k为何实数，直线(2k+1)x-(k-2)y-(k+8)＝0恒通过一个定点，则这个定点是? ； 14.长方体中，已知，，则对角线的取值范围是 ． 答案：（4，5） 15.已知是定义在R上的函数，且，若，则 的值为 。 16.如图，E、F分别为正方体的面，面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是 （填出所有可能的序号） 三、解答题 17.已知：. （1）求; （2）判断此函数的奇偶性; （3）若，求的值. 18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明:BC⊥侧面PAB; （Ⅱ）证明:侧面PAD⊥侧面PAB; （Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小. 19.已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，高为6，点O是底面ABCD的中心，点P是RO的中点，点Q是△RBC的重心. （1）求证：面ROQ⊥面RBC； （2）求直线PQ与底面ABCD所成的角； （3）求异面直线PQ与BR所成的角的余弦值. 20.已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明. (3)讨论函数在定义域上的单调性如何？并思考函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A,B两点的坐标；若不存在,说明理由并加以证明. 参考答案 一、选择题 DAACB BDCBB DD 二、填空题 13.(2,3) 14.(4,5) 16. ②③ 15. 解： ，即函数的周期为8， 故 三、解答题 17. 【解】：（1）因为所以= （2）由，且知 所以此函数的定义域为：（-1，1） 又 由上可知此函数为奇函数. （3）由知得 且 解得 所以的值为： 18. 解】：（Ⅰ）证:∵侧面PAB垂直于底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面PAB. （Ⅱ）证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD在平面PAD上, 所以,侧面PAD⊥侧面PAB （Ⅲ）解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB.垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线 是