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分式方程和无理方程的复习 上海市清华中学 高 洁 我们对2000年～2004年这五年的中考试题进行统计，用来考核学生方程及不等式相关知识的试题如下表： 题号 年份 一 二 三 四 总分 题号 分值 题号 分值 题号 分值 题号 分值 2000年 1 2 1 2 1 8 1 9 21 2001年 3 6 1 7 1 10 23 2002年 2 4 1 7 1 10 21 2003年 2 4 1 3 1 7 14 2004年 3 6 1 7 1 10 23 从上表可以发现： 考核方程及不等式内容的试题分值超过总分的15％。 大部分试题出现在一、二、三、四大题中，其中第三、四大题中的试题分值较多。 由此可见，这部分内容在试卷总分中占有一定比例，但题目的总体难度不大，综合性试题较少，主要以直接考查知识点的试题为主，所以需牢固掌握这部分的基础知识。复习要求： 会用去分母的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程，并会验根。 会用换元法把某些特殊的分式方程化为较简单的分式方程或整式方程。 会用两边同次乘方的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的无理方程，并会验根。 知识梳理： 分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的解法 解分式方程，一般是通过去分母，把分式方程变形为整式方程来解。对于某些特殊的分式方程，可以采用换元法，使之化为较简单的分式方程（甚至整式方程），从而求出方程的解。 　 由于在求解分式方程的过程中，未知数的取值范围可能扩大，有产生增根的可能，因此，最后必须进行验根。 无理方程 根号内含有未知数的方程叫做无理方程。 有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程。 无理方程的解法 解无理方程，一般通过方程两边同时乘方，使之转化为有理方程，从而求出方程的解。 解无理方程时，由于方程两边乘方相同次数，未知数的取值范围可能会扩大，有产生增根的可能。因此，最后必须进行验根。 例题精析： 解分式方程： 分析：化分式方程为整式方程是解分式方程的基本思想，常常通过去分母来转化。在去分母时，要注意符号问题，还容易错在不含分母的项忘记也乘以最简公分母，这一点要格外小心。另外，在解题过程中有可能出现增根，所以必须进行验根。 解：两边同乘以，得 ， ， ，。 经检验：是原方程的根，是增根。 解分式方程： 分析：当方程中含有未知数的两个分式除数字系数外互为倒数时，我们可以用换元法解这个分式方程。 解：设，则原方程可化为， 去分母，得， 解得：，。 当时，，即， ，； 当时，，即， 。 ，，。 解方程组： 分析：解分式方程组的基本思想也是要将之转化为整式方程组来求解，我们可以采取去分母或是换元这两种方法。这里把、看作一个未知数来进行设元，这是一种整体代换的思想。因此方程组是分式方程组，故对所求出的解要检验。 解：设，， 原方程组可化为 可解得 所以 即 解得 经检验：为原方程组的解。 已知关于的方程无解，求的值。 分析：解题的关键在于理解增根的意义。无论是分式方程的根，还是分式方程的增根，均是去分母后所得到的整式方程的根。而这个整式方程的根如果是分式方程的增根，则代入原方程的分母后，至少有一个为零。 解：两边同乘以，得， 解得 。 原方程的增根可能是、、， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则。 当，，时，方程无解。 下列哪个方程有实数解 分析：我们学习的无理方程一般是指关于含未知数的二次根式的方程，根据二次根式的定义，和性质，可以在不解方程的情况下判断方程是否有实数解。A中二次根式值为非负数，两者相加要等于零，只可能同时等于零，而和不可能同时成立；B中二次根式值为负数，不成立；C中由定义可得，则，又由，可得，互相矛盾，所以无解；而D中，，，可得，所以有解。 解：有实数解的方程。 解无理方程 分析：含一个根式的无理方程，可将根式留在等式的一边，把不含等号的其他项全部移到等号的另一边，再将方程两边同时平方。如，可移项为，两边平方可解得的值。同样，这种思想方法也适用于含有两个根式的方程，只要将移到等号的右边,然后两边平方，就可以化去一个根式，再按照只含一个根式的无理方程的解法继续运算。解无理方程时，经过乘方运算可能会扩大方程中的未知数的取值范围，有可能产生增根，所以解得的根必须代入原方程进行检验。 解： 移项，得 ， 两边平方，得 ， 化简得 ， 两边平方，得 ， 解方程，得 ，。 检验：把代入原方程的左边，得， 与右边相等； 把代入原方程的左边，得，也与右边相等， 所以，都是原方程的根 试题点评： （03年上海中考）第一大题第6小题 方程的根是_____________ 分析：本题考查的是