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2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（文史类 湖南卷） 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.B 12.D 13．4 14．0.75 15．9 16． 17．解：由 得 又 于是 18．解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 解得 （舍去）. 将 分别代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 （Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 19．（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 从而 （Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得 解得 即 时， 亦即，F是PC的中点时，、、共面. 又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ① 由 知E是MD的中点. 连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以 BM//OE. ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 证法二 因为 所以 、、共面. 又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC. 20．解：（Ⅰ） （i）当a=0时，令 若上单调递增； 若上单调递减. （ii）当a0时，令 若上单调递减； 若上单调递增； 若上单调递减. （Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是 （ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是. （iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是 21．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ① 设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根. 所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为， 得 又点Q是点P关于原点的对称点， 故点Q的坐标是（0，－m），从而. 所以 （Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）. 由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是 则 解之得 所以圆C的方程是 即 22．（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得 点Qn、Pn+1的坐标分别是： 由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ， 所以数列 是首项为公比为的等比数列. 从而 （Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）. 所以 （i）当时，1+9=10. 而此时 （ii）当时，1+9=10. 而此时