DA2004年高考数学(福建卷理工类).docVIP

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案（理工类）（福建卷） 一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B 二、13．4 14.1/2 15.1,3 16.2/3 三、 17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－. ∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－， 即x=－. （Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|，∴m=－，n=1. 18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 3 P 甲答对试题数ξ的数学期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 P(A)===， P(B)===. 因为事件A、B相互独立， 方法一： ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()=P()P()=（1－)(1－)=. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1－P()=1－=. 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 方法二： ∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B) =×+×+×=. 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB. ∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SD且AC⊥BD， ∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB， ∴AC⊥SB. （Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC， ∴平面SDB⊥平面ABC. 过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC， 过E作EF⊥CM于F，连结NF， 则NF⊥CM. ∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角. ∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC. 又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD. ∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB. 在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=， 在Rt△NEF中，tan∠NFE==2， ∴二面角N—CM—B的大小是arctan2. （Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==， ∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2. 设点B到平面CMN的距离为h， ∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE， ∴h==.即点B到平面CMN的距离为. 解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB. ∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SO且AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系O－xyz. 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）， S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，). ∴=（－4，0，0），=（0，2，－2）， ∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0， ∴AC⊥SB. （Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， ·n=3x+y=0， 则 取z=1，则x=，y=－， ·n=－x+z=0， ∴n=(，－，1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==. ∴二面角N－CM－B的大小为arccos. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量， ∴点B到平面CMN的距离d==. 20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2； Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100. （Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2) =10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10]. 因为函数y=x(x+1) －－10在