DA2004年高考数学(辽宁卷).docVIP

2004年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学试题答案与评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13．1 14． 15．a 16． 三、解答题 17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力. 满分12分. （1）证明：连接BD. 为等边三角形. 是AB中点，…………2分 面ABCD，AB面ABCD， 面PED，PD面PED，面PED.…………4分 面PAB，面PAB. ……………………6分 （2）解：平面PED，PE面PED， 连接EF，面PED， 为二面角P—AB—F的平面角. ………… 9分 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=. 在 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分 18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三 角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满 分12分. 解：（1）由 当时，解集是R； 当时，解集是……………………3分 （2）当时，（ ∪A）=； 当时， ∪A=……………………5分 因 由…………8分 当（ ∪A）∩B恰有3个元素时，a就满足 解得…12分 19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12分. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，，所以 于是 …………6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为………………8分 解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 ④ ⑤ ④—⑤得，所以 当时，有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 ………………8分 （2）解：由点P的轨迹方程知所以 ……10分 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值， 最大值为……………………12分 20．本小题主动要考查函数概念、运用导数，求函数最大最小值的方法，以及运用数学知识，建立简单数学模型并解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）解法一：因为赔付价格为元／吨，所以乙方的实际年利润为： ，因为 所以当时，取得最大值，所以乙方取得最大年利润的年产量吨． 解法二：因为赔付价各为元／吨，所以乙方的实际年利润为： ，当，令得 所以时，取得最大值，因此乙方取得最大年利润的年产量吨． （Ⅱ）设甲方净收入为元，则 将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式 又 含，得，当时，；当时，， 所以时，取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格（元／吨）时，获得最大净收入． 21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和 解决问题的能力. 满分14分. （1）解：由于的最大值不大于所以 ① ………………3分 又所以. ② 由①②得………………6分 （2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立； 因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立，因为的 对称轴为知为增函数，所以由得 ………………8分 于是有 …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法二：（i）当n=1时，，不等式成立； （ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时， ………………8分 因所以 ……12分 于是 因此当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法三：（i）当n=1时，不等式成立； （ii）假设时. 若则 ①…………8分 若， 则．　② 由①②知当时，不等式也成立． 根据（ⅰ）（ⅱ）可知，对任何，不等式成立． 22．本小题主动要考查反函数，指数函数和对数函数的基础知识，导数的概念和计