凡抛物线皆相似.docVIP

凡抛物线皆相似 1猜想 我们知道，二次曲线中的离心率e(笛卡尔平面内动点到定点和定直线距离的比)是用以表述二次曲线性状的．不同的e，确定不同类型和个性的圆锥曲线： 当0＜e＜1时，动点轨迹为椭圆型； 当e=1时，动点轨迹为抛物线型； 当e＞1时，动点轨迹为双曲线型． 1．1如果把圆看作椭圆的特例，“凡圆皆相似”这是早已被学人所公认的．这时其离心率可以看作零，即e=0． 1．2 若将离心率固定为，即e=，而其它条件变化时，则动点轨迹为一系列相似的椭圆(证明从略)易被学人所接受； 同理，当e=2时，动点轨迹为一系列相似的双曲线，亦不难被人们理解． 1．3若当e=1(被确定的特殊常数)其它条件变化时，则动点轨迹为抛物线集合，它们难道不该相似么？然而这恰恰为人们司空见惯所忽视，以至为不加认真思索者难以接受：可不是吗？“尖尖的抛物线和平缓的抛物线怎会相似呢”产生这一错觉的根源在于：1)在初等数学中，人们很少考虑在欧氏平面中非封闭曲线的相似问题．2)易将“相似”与“全等”混为一谈，无意中丧失了“变动观点”． 事实上，对于抛物线在直角坐标系中，当自变量趋向无穷大时，曲线和其对称轴趋于平行(可以证明)这就是说，凡抛物线其轨迹趋势雷同—它们存在形状相似的可能性． 2从抛物线的解析式看其轨迹的相似性 鉴于一切二次曲线通过坐标轴的平移或旋转其方程均可化为标准形式，故本文以曲线方程的标准状态来讨论其轨迹特征． 2．1先说圆： (r1＞0，r2＞0，r1≠r2) 显然，它们的轨迹是相似的，这是因为只要将（2）式（或（1）式）的右端乘以 2．2再看抛物线： 反之亦然． 这就是说，曲线(2)(或(1))通过“放大”(或“缩小”)适当倍数后便与曲线(1)或(2))相重合． 2．3但是，椭圆和双曲线在一般情况下则不然． 例如椭圆： (a1，a2，b1，b2＞0且a1≠a2≠b1≠b2) 无论将(2)式(或(1)式)的右端乘以怎样的一个非零常数，都不能化为(1)式(或(2)式)．这就是说，它们的轨迹在题设条件下是不能相似的．对于双曲线，情况亦如此． 3凡抛物线皆相似的理论证明 3．1首先给出二次曲线相似的定义：在笛卡尔平面内，如果存在一点W过此点的一切直线lW与二次曲线C1，C2相交，并且被lW所截得的以W为端点的线段对应成比例．那末二次曲线C1，C2相似．(对于无心曲线—抛物线，点W选在其顶点；对于有心曲线—椭圆和双曲线可选在其对称中心) 1)上述二次曲线相似的定义是《平面几何》中位似多边形相似定义的继承和扩充． 如图1所示，从点W出发的任意一条射线与多边形AB…E和AB…E相交时，如果总有WP∶WQ=m(m为常数)，则多边形AB…E与多边形AB…E相似． 2)对于如图2所示的非二次曲线相似的问题，本文不予涉及． 3．2凡抛物线皆相似的证明 设有任意两条抛物线 (p1＞0，p2＞0且p1≠p2) lW为过抛物线顶点的任一直线，令其参数方程为 它与曲线C1，C2分别交于P，Q(如图3所示)． 为求WP(t1)，WQ(t2)，将lW的方程分别代入C1和C2的方程得： 当t1，t2，sinα，cosα均非零时有 (注：当t1=t2=0时，实为已重合的抛物线之顶点) 这就是说，此二抛物线C1，C2被过其顶点的任意一条直线lW所截的一切以W为端点的线段对应成比例．根据二次曲线相似的定义，抛物线C1，C2相似．(可记为C1～C2) 鉴于抛物线C1，C2的任意性，故凡抛物线皆相似． 从下面的论述中，我们可以清楚地看到椭圆和双曲线在一般情况下，都不能成为相似形．(现以任意二椭???为例) 将其代入C1，C2的方程得： 即 (3)÷(4)得 显然，当a1/a2≠b1/b2时，t1/t2不能为常数(其比值随着直线lW的倾角α的变化而变化)这就是说，被过椭圆中心的直线lW所截得的以W为端点的线段在题设条件下不能对应成比例．故椭圆C1与C2不相似． 4一般结论 凡离心率相同的二次曲线皆相似．(证明由读者研究)．