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PAGE 12 初三数学  总复习 （六）相似形 一、复习要求 能熟练地运用比例性质；能利用相似三角形的性质与判定解决有关线段的比例式（或等积式）的证明． 二、知识结构 基本性质 比例的性质 合比性质 等比性质 比例 黄金分割 成比例的线段 平行线截得比例线段定理及其推论 相似三角形（性质和判定） 相似形 相似多边形（定义和性质） 1.比例的性质在解题中常用，特别是比例的基本性质：a : b＝c : d ? a·d＝b·c常用来进行比例式与等积式的互相转???，应熟练掌握． 例(1) 如果 2x－5y＝0(y≠0),那么＝ .＝ ,＝ . 解 由2x－5y＝0，得 2x＝5y（这是等积式），则＝（化为比例式）； 由＝ ? ＝＝； 由＝ ? ＝＝. (2) 如果＝＝（c≠0），那么＝ ；如果a : b : c＝7:5:3，a＋b＋c＝30，那么a＝ . 解 设＝＝＝k.（这是利用等比性质的规律，其中k称为参数）． 则a＝4k，b＝3k，c＝2k.（这里你应体会到利用参数的好处）． ∴ ＝＝， a : b : c＝7:5:3，即， 由 得 　（直接利用等比性质） 即． 如果用设参数的方法也是一样的，你可去做做． 2．把“平行线截得成比例线段”定理与“平行线等分线段”定理的复习结合起来，可以看出等分线段定理是平行线截得比例线段的特殊情况．复习时还要注意两点： (1)平行线是定理的前提，也就是没有平行线的条件是不会有截得线段对应成比例的． (2)要清楚“截得线段”指什么？（见下图） 若l1∥l2∥l3 则＝（或＝， 或＝）, 但 ≠ . 这是因为AD、BE不是被平行线截得的线段． 3.把相似三角形的判定与全等三角形的判定对照起来复习，既可见到它们之间的区别，又了解它们之间的联系． 通过对图形的判定而达到利用图形的性质的目的，从而解决问题． 例 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90o，AD⊥BC，垂足为D，E为AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F. 求证：＝. 证明 在Rt△ABC中，由∠BAC＝90o，AD⊥BC， 得Rt△ADB∽Rt△CDA（这是相似三角形判定）． ∴ ＝（这是相似三角形性质） 又在Rt△ACD中，E为斜边AC的中点． ∴ CE＝DE，∠EDC＝∠C＝∠BDF，而∠C＝∠BAD， ∴ △BDF∽△DAF（这又是相似三角形的判定） ∴ ＝（由判定的手段达到利用性质的目的） 则 ＝． 4.一般说，在证明线段的比例式或等积式的问题中，通常采用判定相似的三角形的途径的方法，若是图中存在着相似三角形，则可通过相似三角形的对应边成比例，进行向着求证的目标去推理；若是图中不存在相似三角形，则通常利用作平行线的方法构造出相似三角形． 三、典型题例 例１ 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点F. 求证：BP2＝PE·PF. 分析 由于线段BP、PE、PF不构成两个三角形， 因此需要对结论进行转化． 考虑到AD是BC的垂直平分线，故而连结PC，则 PC＝BP.(为什么？)因此，只要能证得△PCE∽△PFC 即可．（下面的证明留给你完成） 例２ 已知：如图，点E、D、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，四边形AEDF为菱形，延长EF与BC交于点G.