高中数学（苏教版）必修5精品教学案全集：数列 第5课等差数列的概念和通项公式（教师版） .docVIP

第5课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】 知识网络 学习要求 体会等差数列与一次函数的关系； 2．初步通过数列的下标研究数列。 【自学评价】 1．是等差数列 2．已知是等差数列，若，则 【精典范例】 【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。 【解】 【答案】 等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。 【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有（ｎ≥２）？ （２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ 【解】 【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２． （１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长； （２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？ 【解】 　（１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得 解得或（舍去） ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ） （２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以 ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９． ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）． 所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２． 【追踪训练一】： 1．已知等差数列的通项公式为，求它的首项和公差，并画出它的图象． 【答案】略 2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列． （１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ 【答案】（1） （2） ３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ． （１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ （２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 【答案】（1）是等差数列，公差是 （2）是等差数列，首项是，公差是 ４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比． 【答案】三边长的比为 ５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？ 【答案】需支付运费202.5元 【选修延伸】 【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ 【解】 【答案】ａｐ＋ｑ=0 【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？ 【解】 【答案】（1） （2）298个三角形 【追踪训练二】： 1. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= 3 . 2. 若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ D ） A. B. C. D. 3. 若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列. 【解】 a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11 a=12，相应的数列为：2，8，14 4. 已知， ，求 【解】 听课随笔 听课随笔 【师生互动】 学生质疑 教师释疑