高中数学（苏教版）必修5精品教学案全集：数列 第9课等比数列的概念和通项公式（教师版） .docVIP

第9课时等比数列的概念和通项公式 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念， 2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法, 3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 注:1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ｛｝成等比数列=q（,q≠0） 2? 隐含：任一项 3? q= 1时，{an}为常数列. 2.等比数列的通项公式 ① ② 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且 5．证明数列为等比数列： ①定义：证明=常数， ②中项性质：； 【精典范例】 【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１； （２）０，１，２，４，８； （３）1，，，，. 【解】 （１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列． （２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列． （３）所给数列是首项为１，公比为的等比数列． 【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，． 【解】 根据题意，得 所以ａ＝４或ａ＝－４． 根据题意，得 解得 所以ｂ＝２，ｃ＝－１． 【例3】在等比数列{an}中， （１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】 （１）由等比数列的通项公式，得 （２）设等比数列的公比为ｑ，那么 所以 【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】设插入的三个数为，，，由题意知243，，，，3成等比数列． 设公比为ｑ，则 因此，所求三个数为８１，２７，９， 或－８１，２７，－９． 追踪训练一 1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项： （1）２，６，１８，５４，…；　 （2）7，，， （3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5，　，，. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 2. 数列m,m,m,…m, ( C ) A. 一定是等比数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.一定是等差数列不一定是等比数列 D.既不是等差数列，又不是等比数列 3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}{nan}这四个数列中，是等比数列的有(C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【选修延伸】 【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】设这三个数分别为 解得 这三个数为 故由题意又可得 解得 这三个数为3，5，7 【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列. 【证明】 由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5 ＝1000 ∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列. 【点评】 若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___4___. 3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___－3___. 4．已知数列｛an｝为等比数列， (1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， 求a3＋a5. (2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 【解】 (1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25 即a12q4(1＋q2)2＝25 ∴a1q2(1＋q2)＝5 因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5 (2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知 ①÷②得即2q2－5q＋2＝0解得q＝2或q＝ 当q＝2时，a1＝1 ∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4 ∴an＝23－n 听课随笔 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 ①②