高中数学总复习第二轮专题九导 数（文）9.2 导数的应用.docVIP

§9.2 导数的应用 考点核心整合 1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数f(x)的定义区间. (2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根. (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间. (4)确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 2.求函数的极值、最值 (1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0; (2)用极值的方法确定极值; (3)在［a,b］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值. 3.函数最值与极值的区别与联系: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值. (4)如果函数不在闭区间［a,b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较. 考题名师诠释 【例1】已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1) (Ⅰ)求其单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值. 解析：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1. (Ⅰ)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当a＞1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］. f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表： x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从表上可知 函数f(x)在（-∞，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+∞）上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知. 当a=1时，函数f(x)没有极值. 当a＞1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3. 评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法. 【例2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值. (1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x∈［-1,2］，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围. 解析：（1）f(x)=x3+ax2+bx+c, f′(x)=3x2+2ax+b, 由f′(-)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0, 得a=-,b=-2, f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表： x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的递增区间为（-∞，-）与（1，+∞）；递减区间为（-，1）. （2）f(x)=x3-x2-2x+c, x∈［-1,2］,且当x=-时，f(x)=+c为极大值. 而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值， 要使f(x)＜c2(x∈［-1,2］)恒成立，只须c2＞f(2)=2+c,解得c＜-1或c＞2. 评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性. 链接·思考 f′(x)=0,f(x)的单调性怎样? 答:不具有单调性. 【例3】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b表示a和b，并求f(x)的单调区间. 解析：依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(x)=3x2+3ax+b, 故解得 从而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1) 令f′(x)=0,得x=1或x=-. 由于f(x)在x=1处取得极值，故-≠1,即c≠-3. (1)若-＜1,即c＞-3,则当x∈(-∞,-)时