高中数学总复习第二轮专题五 5.1 不等式的证明.docVIP

专题五 不等式 考情动态分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：证明不等式、解不等式、涉及不等式的应用题、涉及不等式的综合题.考查方式不断创新，如出现了图表信息题、多选型填空题，因此，情景新颖的题型应引起我们的关注. 2.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.代数推理问题常以高中代数的主要内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，还常与导数知识相衔接. 3.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴涵着丰富的函数思想，为研究函数提供了重要工具.对不等式的考查常体现出高起点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式考查对数学的应用意识. §5.1 不等式的证明 考点核心整合 1.证明不等式的依据有不等式的性质及定理：当a、b∈R时，a2+b2≥2ab;当a、b∈R+时，a+b≥2. 2.证明不等式的常用方法是：比较法、分析法、综合法,另外还有反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用. 考题名师诠释 【例1】已知三个不等式：①ab0;②--;③bcad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成_____________个真命题. 解析：--bcad; --;---0bcad.应填3. 答案：3 【例2】已知x、y、z∈R,a、b、c∈R+,求证：x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx). 分析一：两端都是多项式，可用作差法证. 证明：∵x2+y2+z2-2(xy+yz+zx)=x2-2xy+y2+x2-2zx+z2+y2-2yz+z2 =(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0, ∴x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx). 评述：配方技巧的实现关键在于合理分项. 分析二：由左端向右端转化，需消去a、b、c，且右端是乘积的和，故可用“a2+b2≥2ab”. 证明：x2+y2+z2 =(x2+y2)+(x2+z2)+(y2+z2)(∵a、b、c∈R+) ≥2·xy+2·xz+2·yz=2(xy+yz+zx). 评述：寻异求同是证明不等式的基本思路. 【例3】已知函数f(x)=lnx-. (Ⅰ)判定函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a＞1,证明：＜. 分析：(Ⅰ)判定函数的单调性，一般有两种方法：①定义法；②利用导数. (Ⅱ)要证＜，∵a＞1,∴只需证lna-＜0. 故需证x＞1时f(x)＜0. 解析：(Ⅰ)f′(x)=-==≤0. ∴f(x)为单调减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)为减函数，又f(x)在x=1处连续. ∴当a＞1时，f(a)＜f(1)=0-0=0. ∴a＞1时，有-＜0.即＜. 评述：构造函数法证明不等式，体现了学生的创新思维，是高考的发展趋势，应引起重视. 【例4】已知不等式++…+＞［log2n］,其中n为大于2的整数，［log2n］表示不超过log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b＞0),an≤,n=2,3,4,… (1)证明：an＜,n=3,4,5,…; (2)猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)； (3)试确定一个正整数N；使得当n＞N时，对任意b＞0,都有an＜. 解：方法1：∵当n≥2时，0＜an≤,∴≥=+,即-≥,于是有≥,≥,…,-≥. 所有不等式两边相加可得-≥++…+. 由已知不等式知，当n≥3时有-＞［log2n］.∵a1=b,∴＞+［log2n］=.∴an＜. 方法2：设f(n)=++…+,首先利用数学归纳法证不等式an≤,n=3,4,5,… ①当n=3时，由a3≤=≤=知不等式成立. ②假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即ak≤, 则ak+1≤≤ =, 即当n=k+1时，不等式也成立.由①、②知，an≤,n=3,4,5,… 又由已知不等式得an＜,n=3,4,5,… (2)有极限，且an=0. (3)∵＜,令＜, 则有log2n≥［log2n］＞10n＞210=1 024,故取N=1 024，可使当n＞N时，都有an＜. 评述 涉及的知识点多，方法选择面广，充分体现出与不等式综合的问题，思维的多样性和灵活性，呈现出不等式的精华.