高中数学总复习第二轮专题二 2.2 数列的综合运用.docVIP

§2.2 数列的综合运用 考点核心整合 1.函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到. 2.数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容是近几年高考的热点之一. 考题名师诠释 【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 解：(1)依题意得=3n-2，即Sn=3n2-n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5; 当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5. 所以an=6n-5(n∈N*). (2)由(1)得bn===(-)， 故Tn==［(1-)+(-)+…+(-)］=(1-). 因此，使得(1-)(n∈N*)成立的m必须且仅需满足≤，即m≤10，故满足要求的最小整数m为10. 评述：本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能，考查分析问题的能力和推理能力. 【例2】已知函数f(x)=2n-x在［0,+∞)上的最小值是an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明++…+; (3)在点列An(2n,an)中是否存在两点Ai、Aj(i、j∈N*),使直线AiAj的斜率为1?若存在,求出所有的数对(i,j);若不存在,请说明理由. (1)解：由f(x)=2n-x，得f′(x)=-1. 令f′(x)=0，得x=. 当x∈(0,)时,f′(x)0； 当x∈(,+∞)时,f′(x)0. ∴f(x)在［0,+∞］上,当x=时取得最小值. ∴an=. (2)证明：∵==(-), ∴++…+ =［(1-)+(-)+…+(-)］ =(1-). (3)解：不存在. 设Ai(2i,ai)、Aj(2j,aj)(其中i、j∈N*)， 则===. 又=1,故不存在. 链接·思考 若an=,则点列An(2n,an)呈现什么样的分布特征?从而本题第(3)问能否从曲线的角度给出解答? 提示:令x=2n,y=an,则y=(x≥2).点(x,y)在曲线x2-y2=1(x≥2,y≥0)上,而双曲线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1,Ai、Aj在双曲线上,故1矛盾. 评述：本题从研究函数最值入手推导通项公式,比较新颖,又考查了数列、不等式及直线的斜率公式、圆锥曲线,综合性非常强. 【例3】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2-13n的大小. 解：(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5, ∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4. 两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即an+1=2an+1, 从而an+1+1=2(an+1). 当n=1时,S2=2S1+1+5, ∴a1+a2=2a1+6. 又a1=5,∴a2=11. 从而a2+1=2(a1+1). 故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*. 又∵a1=5,∴an+1≠0. 从而=2，即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知an=3×2n-1. ∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn, ∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1. 从而f′(1)=a1+2a2+…+nan =(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1) =3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n) =3［n×2n+1-(2+…+2n)］- =3［n×2n+1-2n+1+2］- =3(n-1)·2n+1-+6. 由上2f′(1)-(23n2-13n) =12(n-1)·2n-12(2n2-n-1) =12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1) =12(n-1)［2n-(2n+1)］. (*) 当n=1时,(*)式=0, ∴2f′(1)=23n2-13n; 当n=2时，(*)式=-120，∴2f′(1)23n2-13n; 当n≥3时,n-10. 又2n=(1+1)2=++…++≥2n+22n+1, ∴(n-1)［2n-(2n+1)］0, 即(*)式0, 从而