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* * 函数的极值与导数 温故知新 1、利用导数判断函数的单调性 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 在这个区间内 单调递减。 2、利用导数判断函数单调性的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导函数 ； （3）在函数的定义域内解不等式 和 ； （4）确定函数的单调区间。 3、临界点：使导函数值为0的x的值称为临界点。 即若f′(a)=0,那么x=a是函数的临界点。 观察图像： 根据临界点的概念，我们知道，t=a是函数h(t)的临界点。在这个位置的附近，当ta时，函数h(t)单调递增(h′(t)0)，当ta时，函数h(t)单调递减，（h′(t)0），也就是说，在t=a附近，函数先增后减。 于是我们可以看到，在t=a附近， h′(t)先正后负，这时，有h′ (t)=0. 思考：对于一般的函数是否也有这样的性质呢？ 函数的极值定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； 观察与思考：极值与导数有何关系？ 对于可导函数, 若x0是极值点,则 f′(x0)=0; 反之,若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点. 思考：极值与最值有什么关系？ 极值与最值在一般情况下没有直接关系！ o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 导数为0的点不一定是极值点； 若极值点处的导数存在，则一定为0 例题选讲: 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: ↗ 极小值- 4/3 ↘ 极大值28/3 ↗ y + 0 - 0 + y’ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 试一试：大家能不能根据例1得到利用导数求极值的步骤呢？ （1）求函数y=f(x)的导数. （2）函数不等式f′(x)0,f′(x)0. （3）由（2）的结果列出函数变化趋势表. （4）根据函数变化趋势表得到函数在某点处的极值. 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 D 练习： * 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对 C ， 解:由题设条件得： 解之得 通过验证，都合要求，故应选择A。 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 3. *