§1.5极限运算法则.pptVIP

思考及练习 求 求 求 求 求 备用题 设 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 极限运算法则 解: x = 1 时， 分母 = 0，分子≠0， 但因 极限运算法则 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 极限运算法则 解: 令 已知 ( 见 P46 例3 ) ∴ 原式 = ( 见 P33 例5 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 极限运算法则 解 极限运算法则 作业 习题1-5(48页) 1. 2. 3. 4. 极限运算法则 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 极限运算法则 函数与极限 极限运算法则 求极限方法举例 小结 思考题 作业 §1.5 极限运算法则 第一章 函数与极限 定理1 证 (1) 无穷小与函数极限的关系 一、极限运算法则 极限运算法则 即常数因子可以提到极限符号外面. 由无穷小运算法则,得 (2) 的特例是 ] [ ] [ b a + ± + B A + ± = ] [ B A ] [ b a ± = ± \ )] ( ) ( lim[ x g x f 极限运算法则 定理2 那末 如果 极限运算法则 定理3 证 由定理1(1), 由保号性定理, 即 故 有 有 极限运算法则 注意 应用四则运算法则时,要注意条件: 参加运算的是有限个函数,它们的极限都 商的极限要求分母的极限不为0. 不要随便参加运算, 因为 不是数, 它是 表示函数的一种性态. 存在, 极限运算法则 解 例 二、求极限方法举例 极限运算法则 小 结 则有 则有 极限运算法则 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系, 例 得 极限运算法则 解 例 消去零因子法 再求极限. 方 法 分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子 极限运算法则 例 解 无穷小因子析出法 分子,分母的极限均为无穷大. 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限. 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 无穷小分出法 以分出 再求极限. 求有理函数当 的极限时, 无穷小, 极限运算法则 小 结 例 解 极限运算法则 例 解 先作恒等变形, 和式的项数随着n在变化, 再求极限. 使和式的项数固定, 原式= 不能用运算法则. 方 法 极限运算法则 例 解 “根式转移”法 化为 型 不满足每一项极限都存在的条件, 不能直接 应用四则运算法则. 分子有理化 极限运算法则 解 当x??时? 分子及分母的极限都不存在? 故关于商的极限的运算法则不能应用? 例 是无穷小与有界函数的乘积? 极限运算法则 解 原式= 解 原式= 极限运算法则 求极限 例 解 例 解 极限运算法则 解 例 解 例 根据无穷大与无穷小的关系得 因为 极限运算法则 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 解 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 例 解: 例 极限运算法则 例 解 所以 极限运算法则 x = 3 时分母为 0 ! 解 极限运算法则 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 有定义, 若 且存在 有 则 定理4 (复合函数的极限运算法则) 证 有 对上述 有 取 故 取 证 及 同时成立, 即 )] ( [ x g f y = ) ( u f y = ) ( x g u = )] ( [ x g f y = , ) ( 0 u x g 1 h - 0 ) ( u x g 0 ) ( 0 1 - u x g 0 ) ( u x g - 极限运算法则 极限运算法则 定理4 (复合函数的极限运算法则) 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 由定义, 若 且存在 有 则 注 定理中, 把 或 而把 )] ( [ x g f y = ) ( u f y = ) ( x g u = )] ( [ x g f y = , ) ( 0 u x g 1 化为 极限运算法则 如果函数 满足该定理的条件, 那么作代换 可把求 例 求极限: 解 可看作 与 复合而成. 并且 因而 例 解 原式= 这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法. 极限运算法则 故 推论 例 例 则 极限运算法则 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.