高等数学期中试题.docVIP

数学分析（上）试题 计算(每小题7分，共分) , , ，，，， ; , , ， 求的反函数，指出的定义域.. 设,求. 求.(1) . . 知, 求. *设, 求. *设,其中在点x=0处存在二阶导数且满足, 求. 设曲线y=x2+ax+b和2y=(1+xy3在点(1,(1)处相切,试求常数a, b (8分) 求心形线的弧长 已知连续,且满足方程,试求的表达式. 求由方程所确定的隐函数的二阶导数 设,求 二．概念类 1.写出下列命题的分析表述(15分) f((x)在x0的极限不是A. {[an, bn]}是闭区间套. f((x)在区间I上一致连续. f(x)在x0的极限是A f(x)在x0的左极限是A. {an}是基本数列. {an}不是无穷大量. f(x)在x0点可导. . f(x)在区间X上无界. f(x)在点可微 (8分)指出下列命题之间的关系： （1）f(x)在[a,b]上有界；（2）f(x)在[a,b]上连续； （3）f(x)在[a,b]上可导；（4）f(x)在[a,b]上可积. (1) f(x)在点的某个邻域上有界；(2) f(x)在点极限存在； f(x)在点可导；(4) f(x)在点连续；(5) f(x)在点有定义. 论函数 在[0,2]上的连续性和可导性,并说明理由. (15分)设, 试问 a，b为何值时f(x)在(((,+()内连续? (ii) f(x)在(((,+()内是否可导? 12分)设, 试问f(t)在(((,+()内 （i） 是否连续? 如有间断点,指出其类型; 是否可导? 6. 讨论函数的连续性,若有间断点,是哪种间断点?给出函数的连续区间. 7. (10分)设, 求f(’(x) (2) 设((x)在x=0处可导, g(x) = ( [f (x)], 求证: g((0)=0. 三 应用类 (12分)设直线与交于点A, 过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形D,问a 为何值时, 图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最大? 最大体积是多少? (10分)求曲线y=x2上点的坐标，使得该点处法线与曲线y=x2围成区域的面积最小. （10分）求抛物线与直线所围平面图形的面积. (10分) )设D1, D2为曲线y = x2与直线y=tx, x=1围成的图形, 问当t (0t1) 为何值时, D1, D2绕x轴旋转所得旋转体体积之和达到最小值? (10分)设动点到XOY面的距离与其到定点的距离相等,,M的轨迹为,若L是和柱面的交线在XOY面上的投影曲线,求L上对应与的一段弧的长度. (8分) 已知三角形ABC的顶点分别是 和,求三角形ABC的面积. (10分) 设在高为10M,底半径4M的倒圆锥形容器放着水,水面离容器上口2M,问须做多少功才能将容器中的水全部从顶部抽出? 四 证明类 1.(10分)设x10, xn+1=ln(1+xn)(n=1,2,(((), 证明{xn}收敛并求其极限 2.(12分)设x10, xn+1=ln(1+xn)(n=1,2,(((), 证明{xn}收敛并且 3． 设, n=1,2,(((.证明数列{xn}收敛, 并求出极限.(10分) 4. (12分)设, xn+1=sinxn (n=1,2,(((), 证明 (10分)设x10, xn+1=(n=1,2,(((), 证明{xn}收敛, 并求其极限。 6. 设函数在[a,b]上连续,证明至少存在一点,使. 7. 设函数f((x)在闭区间[a, b]上连续，且f(([a, b])([a, b], 则存在(([a, b], 使f((()=(.(7分) 设，在上可导，试证存在使..(8分) (12分)(1)设在内单调增加, 试证函数在内单调增加; (2) 当时. 证明集合A的上确界若存在必唯一(8分). 用闭区间套定理证明零点存在定理(10分). (10分) 证明: 若f(x)在[a,b]上有界，在(a,b)上连续, 则f(x)在[a,b]上可积 (10)证明: f(x)在[a,b]上可积当且仅当 (10分) 证明: 如果f(x)在上连续，并且不恒为0，则有 . (10分) 证明: 如果f(x)在上连续，并且则f(x) 在上有界. (10分) 证明: 如果f(x)在上连续，并且则f(x)在上一致连续。 (15分) 证明: 如果f(x)在上连续，并且 则 使得. 1 6