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第四章 导数的应用 (The Applications Derivative of function) 第八讲 微分中值定理 阅读： 第4章4.1 pp.80—88, 预习: 第4章4.2 pp.89—95, 第4章4.3: 96--111 练习 pp88--89 习题 4.1: 1至 4; 5, (1); 8, (1),(2); 9,(2); 10 ,(2),(4). 作业 pp88--89 习题 4.1: 5, (2); 8, (3),(4); 9,(1); 10 ,(1),(3). 重要通知: 第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(I)小测验: 测验内容为罗比塔法则及以前的知识； 测验方式：计算机考试，时间一小时。 每班具体考试时间下周考前通知。 请每位同学务必在下周星期二以前，到网上 (网址为: info. Emathc . edu . cn ) 阅读机考说明，并试做摸拟试卷。 4-1 增量分析与微分中值定理 4-1-1 函数局部性态的导数描述 定义 设, 若, 使得: , (), 则称是的一个极小(大)值, 称为的一个极小(大)值点. 例如,函数,以及都在点达到极小值; 函数,都在点达到极大值. 定理: (费马原理)设在点达到极值, 若存在, 则必有 . 证明: 用反证法，若，不妨设, 由 可知，, 使得 , , 即， , . 这与在点达到极值是矛盾的。所以必然是. 如果, 则称是函数的一个 驻点. 上述指出：函数在点达到极值的必要条件是: 是函数的一个驻点. 但驻点不是达到极值的充分条件. 例如考察函数, 显然,因此是这个函数的一个驻点.但是不是的极值点. 若在可导，则它在附近的增减性可以描述如下： 在取极值=0 但这只是局部性质，由得不到直接的全局性质。比如，据此要证明：在一个区间上导数恒为零的函数是常数，都很困难！ 4-1-2 函数区间性态的导数描述 微分中值定理 定理 (洛尔定理) 设在闭区间连续,在开区间可导,并且满足,则存在,使得. 证明: 如果在区间恒等于常数,则结论成立. 若在区间不为常数. 则必有, 使是在上的最大值 因为，根据连续函数的最大最小值定理, 存在,使 得在分别达到它在区间上的最大值和最小值. 由于 以及不为常数, 之中至少有一个不是 区间的端点,不妨设.是在 上的最大值,由于在内部,所以是的极大 值. 是的一个驻点, 即.证毕. 注:洛尔定理的几何意义是: 假定曲线两个端点的连线是水平的(其中,如过曲线(端点可以除外)处处有切线,那么至少有一点的切线是水平的. 定理(拉格朗日定理) 设在闭区间连续,在开区间可导, 则存在,使得 证明: 引进辅助函数以利用罗尔定理：令 则闭区间连续,在开区间可导, 并且,于是由洛尔定理推出存在： ,满足,即。 注1: 拉格朗日定理经常写成如下形式: , 或 其中. 注2: 拉格朗日定理的几何意义是: 假定曲线在任意一点有切线,则存在,使得曲线在点的切线平行与曲线两个端点的连线(其中. 定理（柯西中值定理）:设函数，在连续，在可导，并且.则存在，使得 证明：由可以推出. 构造辅助函数 容易验证在在连续，在可导，并且满足。于是由洛尔定理推出存在，使得，由此就得到定理结论。 柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理中，取，就可得到拉格朗日定理。 4-1-3 微分中值定理的应用举例 微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理。有些时侯微分中值定理单指拉格朗日定理。 例1: 若在中, , 证明: 在中是常数. 证明：, 例2: 证明的任意两个零点之间至少存在的一个零点. 证明: 设, 则根据洛尔定理, 存在,满足. 推而广之有：设有阶导数. 如果存在, 使得, 则 存在, 满足. 例3: 证明: 在中有个零点 在其上至少有一个零点。 在中无零点 在其上至多有个零点。 例4: 求证方程恰好有三个不同实根. 证明: 首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上： 记 ，计算得到 . 由连