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运用整体思想解题 福建惠安第三中学 仇文波 Email:qwbh71@163.com 电话：059587191297 整体思想是系统思想中的整体原则在数学中的反映，灵活运用整体思想解题往往能够达到快速、简洁的解题的效果，有助于培养学生分析问题和解决问题能力，下面通过实例浅谈整体思想在数学解题中的运用。 一、整体思考 思考问题时，避开具体细节和局部的特征，从对象的整体共性去考虑。 例1：过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为、，求证：. 分析：按常规要分斜率存在与不存在两种情形，分别设直线方程为（其中），，与抛物线方程联立，而把直线的方程统设为，则省去了分类讨论的麻烦。 证明：焦点为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去整理得，其两根恰恰是、，由韦达定理得. 例2：解不等式：. 分析：这是一个双向不等式，一般做法是： 原不等式 但若能灵活运用“”对原不等式整体思考，那么原不等式等价于 二、整体代换 整体代换是指在解决某些问题时，把一些组合的式子视作一个“整体”，并通过对这个“整体”的考察使问题获解，从而避免局部运算的麻烦和困难。 例3：已知等比数列中，，，为数列的前项和，求. 分析：由题设条件有：① ② ②÷①，得。得到这一步后，许多学生便陷入了繁琐的已知去寻求的运算之中了，自然大多数学生无功而返，如果我们从解题目标出发，就会意识到要求只要去寻找，问题便会迎刃而解。 由①知，上式中有这一整体，然后将，整体代入，易得 从而 上面解法从这一整体进行整体代换，使问题得到顺利解决。但我们也可以站在数列的高度上，设，…………，则可以得到一个新等比数列，且公比，从而，显然这种解法更为简炼，所以我们在思考整体代换时，选择哪一部分作为“整体”，显得更为重要。 例4：（1998年全国高考题）证明： 分析：本题若采用数学归纳法证明，难度较大，过程冗长，采用整体代换法，令：，则只须证明即可 ∵ ∴，又，从而命题成立。 三、整体传递 例5：（2000年全国高考题）设是首项为1的正数数列且满足，则其通项公式为=_____________. 分析：由已知得 ∵ ∴ ∴， 即（*），到这里，一般都会将（*）式处理为，得到个式子，利用连乘得到的表达式。但如果用一种整体思想来把握（*）式，就会得到一个新的数列，（*）式便是其递推公式，整体传递性明白地告诉我们，该数列是常数数列。故通项 ∴ 四、整体补形 整体补形是指从图形的整体性出发，将研究对象视为局部，将其拓展为一个整体，通过对整体的研究获得局部的解决办法。 例6：（2003北京理）在直角坐标系中，已知三边所在的直线方程分别为，，，求内部和边上整点，（即横纵坐标均为整数的点）的总数。 分析：将，和所围成的三角形 补成一个矩形，如图（1）所示。对角线上共有6个整点， 矩形中（包括边界）共有个，因此所求 内部和边上的整点共有(个). 注：本题利用整体补形，避开了分类讨论，从而使问题得到巧妙地解决，较好地考查了考生的数学素质，尤其是整体思维。 五、整体重构 在解题中，往往需要对原有数学结构作适当变形，甚至需要另起炉灶去构造另一新的结构形式。 例7：求以点（1，1）为中点的椭圆的弦所在直线的方程. 分析：因弦的两端点关于点M（1，1）对称，故可对椭圆，进行重新构造，即作关于点M（1，1）对称，得到另一椭圆，所以，所求直线为过两椭圆交点直线。 解：椭圆①关于点M（1，1）中心对称的椭圆方程为② ①－②得 即为所求中点弦所在直线方程. 注：本题亦可设弦两端点，利用整体代换，求出斜率，从而求出直线方程，而上述解法抓住弦两端点的特征，重构另一整体，使问题得到巧妙的解决，事实上，此种方法，可以用于解决圆锥曲线的中点弦问题。 例8：已知三个正数，满足，求证： 分析：这是一个双连不等式，很多人都会把它看成两个不等式分别加以处理，显然比较麻烦。若把，当作一元二次方程两根看待，则能得到如下别具一格的整体构造证明。 证明：构造函数， 令得方程的两根 ，。 又 故方程的两根位于的两侧， 即 六、整体变形 在把某一个问题看作一个整体的同时，还要对这个“整体”进行适当变形，才能使问题顺利获解。 例9：（1995年全国高考题）设是由正数组成的等比数列，是其前项之和，证明： 分析：本题的参考答案采用一般解法，对公式进行讨论，过程比较复杂，若将，，视作整体，并作变形处理，即设的公比为，则，，从而 ∴ ∴ ∴ 以上例举的仅仅是整体思维解题的某些方面，正确解答上述各问题，并没有多大困难，值得品味的是其颇具特色的整体解题的思想和方法。教师如果能经常引导，启发学生从整体性的角度观察思考问题，使学生养成整体思维的习惯意识，必将有助于学生对问题本质的认识与把握，有助于学生逐步形成良好的数