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第一章　　典型方程和定解条件 一 　基本方程的建立 1　弦振动问题 在弦线上截取一段，弦的线密度为，为作用在弦上且与弦线运动方向一致的强迫外力密度。 设表示弦线上的点在时刻的位移，。则一维波动方程为： 　　　　　（1.1） 其中，。当强迫外力为0时，则方程为： 　　　　　　　　（1.2） 2　热传导方程 如果考虑的物体是一根细杆，可认为物体内热量的流动只是沿杆的纵向，此时温度是是的函数，则一维热传导方程为： 二维的热传导方程为： 如果在物体内部的温度趋于平衡状态，这时温度仅与空间变量有关与时间变量无关，我们把这种温度场称为稳定温度场。 二 初始条件和边界条件 为了确定一个具体的弦振动，除了列出这出它应该满足的方程外，还须写出描述它初始时刻状态的条件和描述它的端点受到外界影响的条件。 一般地，用以描述某个物理模型的初始状态的条件称为初始条件，描述其边界状态的条件称为边界条件。 1 弦振动问题的初始条件与边界条件 对于统统振动问题，初始条件就是弦在开始时刻的位移以及速度。若以，分别表示初始位移和初速度，则初始条件可表示为： 对于边界条件，一般有三种： 第一：已知端点位移变化，即 特别当时称弦线具有固定端。 第二：已知端点在运动方向上所受的外力，即 　　 特别当时称弦线具有自由端。 第三：已知固定在一倔强系数为的弹性支承上的端点在运动方向所受的非弹性恢复力。设弹性支承原来的位置为，则就表示弹性支承的应变。则有： 特别当时，表示弦线的两端受弹性恢复力的作用，即两端固定在弹性支承上。 2热传导问题 热传导问题的初始条件即物体内部的初始温度分布： 　　　　 边界条件有三类： 已知边界上的温度分布，即： 　 这里，特别当常数时，称物体的边界保持恒温。 已知边界上的热流密度 （为的单位外法向） 表示流入，表示流出。特别0时表示物体绝热。 已知边界与周围介质有热交换，设周围介质的温度为，热交换系数为，则 或 三 定解问题的提法 　初始条件和边界条件都称定解条件。把某个方程和与之相应的定解结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解称为初值问题。 只有边界条件没有初始条件和定解问题称为边值问题。 既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题。 本书主要讨论下面三个类型的方程： 　（波动方程） 　（热传导方程） 　　　　　（位势方程） 对于上述三种类型的方程，其相应的定解条件各不相同，对于波动方程和热传导方程，其定解条件一般为初始条件和边界条件，而位势方程只有边界条件。