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第三章中值定理与导数的应用-忻州师范学院
忻州师范学院数学系高等数学教案 第三章 中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中
值定理。
2 、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方
法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、
铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4 、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：
1 、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2 、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；
3、函数图形的凹凸性；
4 、洛必达法则。
教学难点：
1 、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；
2 、极值的判断方法；
3 、图形的凹凸性及函数的图形描绘；
4 、洛必达法则的灵活运用。
忻州师范学院高等数学课程建设组 1
忻州师范学院数学系高等数学教案 第三章 中值定理与导数的应用
§3. 1 中值定理
一、罗尔定理
费马引理
设函数f (x) 在点x 的某邻域U(x ) 内有定义, 并且在x 处可导, 如果对任意
0 0 0
x ∈U(x0), 有
f (x)≤f (x ) (或f (x)≥f (x )),
0 0
那么f ′(x0) 0.
罗尔定理 如果函数y f (x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b) 内可导, 且有
f (a) f (b), 那么在(a, b) 内至少在一点ξ , 使得f ′(ξ) 0.
简要证明: (1)如果f (x)是常函数, 则f ′(x)≡0, 定理的结论显然成立.
(2)如果f (x)不是常函数, 则f (x)在(a, b) 内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨
设有一最大值点ξ ∈(a, b). 于是
( ) ( ) −
′ ′ f x f ξ
( ) ( ) lim ≥0 ,
f ξ f ξ −
x →ξ − x −ξ
( ) ( ) −
′ ′ f x f ξ
( ) ( ) lim ≤0 ,
f ξ f ξ +
x →ξ + x −ξ
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