4-2餘式定理與因式定理-wordpress.com.docVIP

4-2 餘式定理與因式定理 多項式的除法原理 設為兩多項式，，則存在兩多項式，使得 ，其中或 餘式定理 設為一多項式，則被除之餘式為, 其中。 當，()時，則， 因此， 推論 多項式被除之，餘式為 例1 求以去除之餘式。 例2 以去除之餘式。 例3 求以去除的餘式。 例4 求以去除的餘式。 問題1 以除之，餘式分別為3, 1, 求以除之，餘式為___________。 問題2 ，求之值。 問題3 為一多項式，以除之，其餘式分別為，求 以除，其餘式為_________。 以除，其餘式為_________。 以除，其餘式為_________。 因式定理 若多項式有之因式，即可被整除，則；反之，若，表示可被整除，即有之因式。 簡言之，有之因式 有之因式 定理 若為多項式方程式之根，即若，則存在使得 推論 設為一個n次多項式，則的相異根至多只有n個。 例5 設，試因式分解。 定理 一個正整數可被9整除的條件是各位數字和可被9整除。 證明 將一個正整數表示為一個的多項式 ，即為該正整數，考慮被除得商式，餘式，由除法原理及餘式定理知 故知， 例6 自然數123456789是否可被9整除？ 例7 多項式可被整除之條件為何？ 練習 1. 多項式可被整除之條件為何？ 2. 一個自然數3277843被11除，餘數為何？ 泰勒定理 設為一的次多項式，則可表為的多項式 例8 將表示為的多項式。 質式與合成式 將一個多項式拆成次數較低的多項式的乘積，稱為因式分解。不能分解的式子稱為質式。在不同數系中質式可能有所不同。 例 為質式，可分解。 定義 設為三個多項式，其中不為零多項式，若，則多項式叫做的倍式，叫做的因式，將寫成，叫做的因式分解。 非零常數都是的因式。 定義 因式分解時，，之中必定有一是常數時，稱是質式。 若可分解成次數較低之因式時，稱是合成式。 要點 中，一次式必是質式，分零多項式若為合成式，其次數至少是二次。 依照其分解因式是否能分成兩個非常數多項式之積，可分為四類 零多項式 零次多項式 質式：一次式與判別式為負的二次式。 合成式 十字交乘法 基本公式 ________________ ____________________ __________________ ___________________________ _____________________ __________________________ __________________ ___________________ ______________________ 例9 因式分解 例10 因式分解 練習 因式分解 式的變形 例11 因式分解 例12 因式分解 練習 因式分解 習題4-2 設為自然數，試證可被整除。 以去除得餘數，以去除得餘數，試求以去除的餘式，其中。 一個自然數可以被11整除的條件是什麼，試證明之？ 設可被整除，試求之值，並且解方程式。 設為一個三次多項式，若，試求。 若以與分別除之，其餘式相同，求a之值與餘式。 試決定之值使得可被整除。 將表為的多項式。 因式分解下列各式： (1) (2) 將下列二式因式分解： (1) (2) 將下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 將下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 4