一类n阶微分方程的振动性判别准则.pdfVIP

第37卷 第3期 曲 阜 师 范 大 学 Vo1．37 No．3 2011年 7月 Journal of Qufu Normal July2011 一 类 阶微分方程的振动性判别准则 田亚州①， 孟凡伟② (①青岛理工大学费县校区，273400，山东省费县；②曲阜师范大学数学科学学院，273165，山东省曲阜市) 摘要 ：给出了判断一类n阶微分方程振动性的充分条件，推广和改进了中立时滞微分方程的许多结果 关键词：n阶微分方程；振动性；中立型 中图分类号：017514 文献标识码：A 文章编号：1001-5337(2011)03-0031-04 1 引 言 本文考虑n阶中立型非线性微分方程 [r()I(x(t)+p(t)x(t— )) ’I (x(t)+p(t)x(t一 )) ’]+F(t，x[g(t)])=0，t t0 (1) 的振动性，其中n 2为偶数， 0，g∈G([to，∞)，R)，limg(t)=∞，F∈C( ，∞)×R，R)，sgnF(，)= sgnx，t ．假设以下条件成立： (日1)r 0，0 p(￡)=三三1，t∈[t0，∞)； 一 I ( )r(t)∈C。[t0，。。)，r(t)0，r(t) 0，R(t)=fr—i(s)ds，limR(t)=。。； J tO ‘ ( )存在函数g(t)∈C([to，∞)， )，使得F(t，)sgnxq(t)IxI，≠0， o； ( )存在函数 (t)∈C([t。，∞)，R )，使得or(t)≤nf{t，g(t)}，or(t)0，limo(t)=∞． 若存在 t。，使得 (t)∈C I1([ ，∞)，)，并且 r(t)I((t)+P(￡)(t—r))‘一”l一((t)+P(t)x(t一丁))‘一“ ∈C ([ ，∞)，R)， 则称 (f)为方程 (1)的解． 若方程(1)的解有任意大的零点，则称此解为振动的；若方程 (1)的所有解都是振动的，则称方程 (1)是 振动的．近年来 ，关于高阶微分方程的振动性已有一些很好的结果(见文献[1，3-5]及其参考文献)． 2004年，Xu和Xia在文献[3]中利用积分平均值技巧，研究如下形式的方程 [I ‘一“”(t)I“一 ‘一”(t)]+F(t，[g(t)])=0，t t0， (2) 并得到了一些很好的结果． 最近，Meng和Xu在文献[5]中利用李卡蒂变换研究如下方程 [r(￡)I(x(t)+p(t)x(t— )) ’I (x(t)+p(t)x(t— ))‘’]+q(t x[cr(t)])=0，t to， (3) 给出了方程(3)振动的充分条件，本文推广和改进了文献 [3，5]的主要结果，在文章的最后给出了一个例子 来说明我们结果的优越性． 令Do={(t，s)∈R：ts ￡。}和D={(t，s)∈R：t s to}，根据文献 [8]定义一类函数 l，．若 ∈ C(D，)，满足 (A1)日(t，t)=0，t t0，日(t，S)0，(t，S)∈D0； (A)日在D。上连续，并且满足 0．则 日∈y． ·收稿 日期：2011-03-29 基金项 目：国家高等学校博士点科研基金(20103705110003)和山东省自然科学基金 (ZR2009AM011)． 作者简介：田亚州，男，1983一，硕士，助教；主要研究方向：应用微分方程．E—mail：tianyazhou369@163．tom． 盂凡伟，男，1963一，教授，博士生导师；主要研究方向：微分方程．E-mail：fwmeng@mail．qfnu．edu．ca 32 曲阜师范大学学报(自然科学版)