一类格子上有限维不可约随机游动常返性的证明.pdfVIP

第3O卷 第 3期 兰 州 交 通 大 学 学 报 Vo1．3ONo．3 2011年 6月 JournalofLanzhouJiaotongUniversity June2011 文章编号 ：i001—4373(2011)03—0154—03 一 类格子上有限维不可约随机游动常返性的证 明 杨朝强， 常迎香 (兰州交通大学 数理与软件工程学院，甘肃 兰州 730070) 摘 要：格子上的随机游动是随机过程理论中的一类比较特殊的随机游动．而常返性和非常返性则是这一类随机 游动所讨论的一条重要性质，对于一维格子上(E矗一O)的随机游动是常返的，对于二维格子上的不可约随机游动 也是常返的，而对于维数大于或等于3的情形和一维和二维的并不一样，文章主要证明了其是非常返的．这个结论 又解决了一类随机游动的一个常返性问题． 关键词：格子上的随机游动；不可约性；常返 ；非常返 中图分类号：O211．6 文献标志码 ：A 最早 的随机游动 由Pearson教授提出，随后 定义4 给定整数格子 上的随机游动称作 Markov、Smoluchowski、Polya等概率论学者和其 不可约的，如果H一 ；称作可约的，如果H≠ ． 他一些学者在这一领域做了大量的贡献口]．着眼于 定理 1 设随机游动的一步具有有限的非零数 不同类型的随机游动 的常返性 问题是很有意义 学期望，则该游动是非常返的．证明参见文献E4]． 的_3]． 1 主要结论 本文关注的是一类格子上有限维随机游动的常 返性问题，在一些类似的研究基础上 _6]，文章主要 定理2 设随机游动的一步具有有限的零数学 证明了对于维数大于或等于 3的情形其是非常返 期望，则其一维格子的随机游动是常返的． 的．这个结论又解决了一类随机游动的一个常返性 这个结论比较常见，由定理1的条件，以概率1有 问题． lim 型 一 一 0 ，为了便于对于维数大于或等于3 』 定义 1 向量z一 ale的集合z称作格子， I： 1 的情形的理解，作如下说明：令 -，(“)一Ee““气 一 其中：e(一1，…，S)是R 中的线性无关向量，a是 ∑ (z)“是随机游动一步(￡一 1)一 o))的 整数(n一0，土1，土2，…)；S称作这格子的维，而向 ∈ 量 e，e，…，e是它的基，如果 Sm，格子称作退 特征函数，G(z)一∑P。。()为随机游动的Green函 化的；当S—m时是非退化的_4]． 定义2 在格子Z上的随机游动 {()；一0， 觌由强大数定律，G(0)一 jRe(1一tJ()“) 1，2，…)由公式 ()一X+岛+ +…+￡。(靠≥1) ， 其中c是 中的一个方体，c一 {“：I“l丌，i一 和 (0)一X定义，其 中：是一个非随机 向量，它表 1，…，72)，0t1．令J(“)一 (“)时，Green函数 示随机游动的初始位置，X∈Z，而 ￡， ，…，专则是 取值于Z的独立同分布的随机向量_l4]． 就成了G(o)一 T{ d．“则对于 定义3 Z中的两点 和 称作连通的，如果 任意的 ￡0，可以