2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第六章 不等式、推理与证明 第九节 Word版含解析.docVIP

第九节　数学归纳法 知识梳理 　数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法． 用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1，n0＝2等)时结论正确； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确． 用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测 1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6解析：当n≤4时，2nn2＋1不成立，n≥5时，2nn2＋1成立，所以取n0＝5. 答案：C 2．下列代数式中(其中k∈N*)，能被9整除的是(　　) A．6＋6×7k B．2＋7k－1 C．3 (2＋7k) D．2(2＋7k＋1)解析：(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k＝n(n∈N*)命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k＝n＋1时命题也成立．故选C. 答案：C 3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1，1＋＋1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋2,1＋＋＋…＋，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋. 答案：1＋＋＋…＋ 4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想an＝. 答案：an＝ 1．已知f(x)＝. (1)若x≥1时，证明：f(x)≥ln x； (2)证明：1＋＋＋…＋ln(n＋1)＋(n≥1)． 证明：(1)设g(x)＝f(x)－ln x＝－－ln x(x≥1)，则g′(x)＝－＋＝＝≥0(x≥1)，所以g(x)在 ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，2≤xk3成立，则当n＝k＋1时，xk＋1＝＝4－， 由2≤xk3xk＋251≤?2≤4－3即2≤xk＋13也成立． 综上可知，2≤xn3对任意正整数恒成立． 下面证明xnxn＋1： 由xn＋1－xn＝－xn＝＝， 由2≤xn30－(xn－1)2＋4≤3， 故有xn＋1－xn0，即xnxn＋1. 综合①②可知，2≤xnxn＋13恒成立． (2)解析：由(1)及题意得xn＋1＝. 设bn＝xn－3，则＝＋1，＋＝5， 所以数列是首项为－，公比为5的等比数列． 因此＋＝－·5n－1，即bn＝－， 所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－(n∈N*)． 观察下表： 设第n行的各数之和为Sn，则Sn＝______________.解析：第一行，1＝12， 第二行，2＋3＋4＝9＝32， 第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72， 归纳：第n行的各数之和Sn＝(2n－1)2. 答案：(2n－1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数f(x)＝(x0，a为常数)，数列{an}满足：a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)当a＝1时，求数列{an}的通项公式； (2)在(1)的条件下，证明对n∈N*有： a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝. (1)解析：当a＝1时，an＋1＝f(an)＝，两边取倒数，得－＝1，故数列是以＝2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，an＝，n∈N*. (2)证明：(法一)由(1)知an＝，故对k＝1,2,3，…， akak＋1ak＋2＝＝ 所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2 ＝ ＝＝. (法二)①当n＝1时，等式左边＝＝， 等式右边＝＝，左边＝右边，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立， 即a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＝， 则当n＝k＋1时， a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＋ak＋1ak＋2ak＋3 ＝＋ ＝＝ ＝ ＝ ＝. 这就是说当n＝k＋1时，等式成立， 综①②知对于n∈N*有： a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 12　3　43　4　5　6　7　4　5　6　7　8　9　10