2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第八章 立体几何与空间向量 第八节 Word版含解析.docVIP

第八节　空间向量的应用(一) 知识梳理 一、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上． 2．异面直线所成的角的取值范围：. 3．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法． 二、直线和平面所成的角 1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角． 特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角． 2．直线和平面所成角的取值范围：. 三、二面角 1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为αlβ. 2．二面角的平面角． (1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角． (2)一个平面垂直于二面角αlβ的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB就是αlβ的平面角． 说明：①二面角的平面角范围是； ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法． 4．求二面角的射影公式：cos θ＝， 其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S′是图形F在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小． 四、三种空间角的向量法计算公式 1．异面直线a，b所成的角θ：cos θ＝(其中a，b分别是异面直线a，b的方向向量)． 2．直线a与平面α(其法向量为n)所成的角θ：sin θ＝. 3．锐二面角θ：(法一)cos θ＝，其中m，n为两个面的法向量． (法二)cos θ＝，其中a，b是分别在两个面内且与棱都垂直的向量．基础自测 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　B．60°C．30° D．60°或30°解析：根据线面角的定义知，选项C正确． 答案：C 2．(2013·山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 解析：如题图所示：SABC＝×××sin 60°＝. 所以VABCA1B1C1＝SABC×OP＝×OP＝， ∴OP＝. 又OA＝××＝1， 所以tan∠OAP＝＝，又0∠OAP，所以∠OAP＝. 答案：B 3．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________． 4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB＝FB＝1. 则：(1)二面角CDEC1的余弦值为________； (2)直线EC1与FD1所成角的余弦值________.解析：(1)如图，以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系Axyz，则有D(0,3,0)，D1(0，3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)． 于是，＝(3，－3,0)，＝(1,3,2)，＝(－4,2,2)． 设向量n＝(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有 ?x＝y＝－z. ∴n＝＝(－1，－1,2)，其中z＞0. 取n0＝(－1，－1,2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量． ∵向量＝(0,0,2)与平面CDE垂直， ∴n0与所成的角θ为二面角CDEC1的平面角． ∴cos θ＝＝＝. (2)设EC1与FD1所成角为β，则 cos β＝＝＝ . 答案：(1)　(2) 1. (2012·陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A.　　　　 B.C. D. 解析：设CB＝a，则CA＝CC1＝2a，A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a，0)，B1(0,2a，a)， ∴＝(－2a,2a，a)，＝(0,2a，－a)． ∴cos〈，〉＝＝.故选A. 答案：A 2．(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC、AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点