2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第八章 立体几何与空间向量 第九节 Word版含解析.docVIP

第九节　空间向量的应用(二) 知识梳理 一、利用向量证明平行 1．证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) a∥b. 2．证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使c＝xa＋yb.(法二)证平面的法向量与该直线垂直． 二、利用向量证明垂直 1．证线线垂直方法：a·b＝0a⊥b. 2．证线面垂直方法：转化为证线线垂直． 三、利用向量求距离 1．求点到平面的距离：已知AB为平面α的一条斜线段，C为点A在平面α的射影，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离d＝＝. 2．求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求． 3．求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求． 4. 两条异面直线距离：分别在直线a，b上取定向量a，b，求与向量a，b都垂直的向量n，分别在a，b上各取一个定点A，B，则异面直线a，b间的距离d等于在n上的射影长，即d＝. 基础自测 1．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(　　) A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a平面α也满足a·n＝0. 答案：C 2．向量a＝ (－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(　　) A．a∥b，b⊥c　　B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：因为c＝2a，a·b＝0，所以a∥c，a⊥b，故选C. 答案：C 3．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是________．a　4．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若在BC边上存在一点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是______.4. 1．(2012·大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (　　) A．2　 B. C.　 D．1解析：由已知可得AC1＝4，取AC与BD的中点O，连接OE，显然有AC1∥OE且平面ACC1A1⊥平面BED，∴AC1与平面BED的距离即为AC1与OE的距离，又∵AB＝2，CC1＝2，∴AC＝2，CC1＝AC，∴平面AA1C1C为正方形，∴AC1与平面BED的距离为CA1＝1.故选D. 答案：D 2．(2013·北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值； (3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值． (1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC， 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 所以AA1⊥平面ABC. (2)解析：由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4.所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即 得x＝0，令z＝3，则y＝4，所以n＝(0,4,3)． 同理可得，平面BB1C1的法向量为m＝(3,4,0)， 所以cos〈n，m〉＝＝. 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为. (3)证明：设D(x1，y1，z1)是直线BC1上一点，且＝λ.则由(1)可得(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ. 所以＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由·＝0，即9－25λ＝0.解得λ＝. 因为∈，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时＝λ＝. 1．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　) A.a　　　　　B.a C.a D.a 答案：A 2．(2013·梅州二模)如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AA1＋AB＋AC＝3，AB＝AC＝t(t＞0)． (1)当AA1＝AB＝AC时，求证：A1C⊥平面ABC1； (2)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t的值． (1)证明：因为AA1⊥面ABC，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB.又因为AB⊥AC，所以分别以AB，AC，AA1所在直线