2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第六章 不等式、推理与证明 第七节 Word版含解析.docVIP

第七节　直接证明与间接证明 知识梳理 一、直接证明 1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)P1?P2?…?Pn(结论)． 特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法． 2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)B1?B2?…?Bn?A(已知)． 特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法． 二、间接证明 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法． 1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论． 2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立． 3．反证法证明一个命题常采用以下步骤： (1)假定命题的结论不成立； (2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； (3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； (4)肯定原来命题的结论是正确的，即“反设—归谬—结论”． 4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法： 第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立； 第二，命题是以否定命题的形式叙述的； 第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的； 第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．基础自测 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是(　　) A．t＞s　　　　　B．t≥s C．t＜s D．t≤s解析：因为s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，所以s≥t. 答案：D 2．对任意的锐角α，β，下列不等式成立的是(　　) A．sin(α＋β)sin α＋sin β B．cos(α＋β)cos α＋cos β C．cos(α＋β)sin α＋sin βD．cos(α＋β)cos α＋cos β答案：D 3．定义运算法则如下：ab＝a＋b，ab＝lg a2－lg b.若M＝2，N＝，则M＋N＝________________.解析：由定义运算法则可知，M＝2＝＋ ＝＋＝4， N＝＝lg()2－lg＝lg 2＋lg 5＝1， ∴M＋N＝5. 答案：5 4．(2013·保定模拟)若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是__________．解析：分析法，要证PQ，需证P2Q2即可． 答案：PQ 1．(2012·新课标全国卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. (1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角A1BDC1的大小． (1)证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，得 ∠ADC＝45°. 同理：∠A1DC1＝45°∠CDC1＝90°， 得：DC1⊥DC.又DC1⊥BD， DC∩BD＝DDC1⊥平面BCDDC1⊥BC. (2)解析：DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1BC⊥平面ACC1A1BC⊥AC. 取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H. A1C1＝B1C1C1O⊥A1B1，平面A1B1C1⊥平面A1BDC1O⊥平面A1BDC1O⊥BD. OH⊥BD，C1O∩OH＝OBD⊥平面C1OHC1H⊥BD得：点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1BDC1的平面角． 设AC＝a，则C1O＝，C1D＝a＝2C1O∠C1DO＝30°， 即二面角A1BDC1的大小为30°. 2．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ. (1)若|a－b|＝，求证：a⊥b； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． (1)证明：由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a·b＝0，因此a⊥b. (2)解析：由已知条件 又0βαπ， cosβ＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， 所以sin α＝，得α＝或α＝， 当α＝时，β＝(舍去)， 当α＝时，β＝. 1．(2013·惠州一模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，